Проверка отрендеренных SVG

Задача 1

Текст:

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.

Решение:

Обозначим размер кредита через S миллионов рублей. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты, которые составляют 0{,}2S миллионов рублей каждый год. Таким образом, за три года общая сумма выплат по процентам будет равна: 3 \cdot 0{,}2S = 0{,}6S \text{ миллионов рублей}. Теперь рассмотрим погашение основного долга за последние два года. В середине 4-го года долг увеличивается на 20\% и становится равным: 1{,}2S \text{ миллионов рублей}. Пусть x — это сумма, которую заёмщик выплачивает в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце 4-го года остаток долга составит: 1{,}2S - x \text{ миллионов рублей}. В середине 5-го года этот остаток увеличивается на 20\% и становится: 1{,}2(1{,}2S - x) \text{ миллионов рублей}. В конце 5-го года заёмщик выплачивает оставшуюся сумму x , которая должна полностью погасить долг. Таким образом, получаем уравнение: 1{,}2(1{,}2S - x) = x. Раскроем скобки и решим уравнение: 1{,}44S - 1{,}2x = x, 1{,}44S = 2{,}2x, x = \frac{1{,}44S}{2{,}2} = \frac{36}{55}S \text{ миллионов рублей}. Теперь общая сумма выплат за 5 лет составит сумму выплат по процентам за первые три года и двух одинаковых выплат в конце 4-го и 5-го годов: 0{,}6S + 2 \cdot \frac{36}{55}S = 0{,}6S + \frac{72}{55}S. Приведём к общему знаменателю: 0{,}6S = \frac{33}{55}S, \frac{33}{55}S + \frac{72}{55}S = \frac{105}{55}S = \frac{21}{11}S \text{ миллионов рублей}. По условию задачи общая сумма выплат должна быть меньше 7 миллионов рублей: \frac{21}{11}S < 7. Решаем неравенство: 21S < 77, S < \frac{77}{21} \approx 3{,}666. Так как S должно быть целым числом, наибольшее возможное значение S равно 3. Ответ: \boxed{3} миллиона рублей.

Задача 2

Текст:

Найдите значение выражения 3 \cos 2\alpha , если \sin \alpha = 0,2 .

Решение:

Необходимо найти значение выражения 3 \cos 2\alpha , если \sin \alpha = 0{,}2 . Используем формулу для \cos 2\alpha : \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha Подставляем \sin \alpha = 0{,}2 : \cos 2\alpha = 1 - 2 \times (0{,}2)^2 = 1 - 2 \times 0{,}04 = 1 - 0{,}08 = 0{,}92 Теперь находим 3 \cos 2\alpha : 3 \cos 2\alpha = 3 \times 0{,}92 = 2{,}76 Ответ: 2{,}76 .

Задача 3

Текст:

В треугольнике ABC угол C равен 90^\circ , AB = 10 , BC = \sqrt{19} . Найдите \cos A .

Решение:

В треугольнике ABC \angle C = 90^\circ , AB = 10 , BC = \sqrt{19} . Необходимо найти \cos A . Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны AC : AB^2 = AC^2 + BC^2 Подставим известные значения: 10^2 = AC^2 + (\sqrt{19})^2 100 = AC^2 + 19 AC^2 = 81 AC = 9 Теперь найдём \cos A . Напоминаем, что \cos A = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} , то есть \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{10} Ответ: \frac{9}{10} .

Задача 4

Текст:

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O . Угол ACB равен 41^\circ . Найдите величину угла AOD . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O . \angle ACB = 41^\circ . Необходимо найти величину угла \angle AOD . Так как AC и BD являются диаметрами окружности, то угол, заключённый между ними, является центральным углом, и его величина в два раза больше, чем угол, образованный соответствующими хордами на окружности. Используем теорему, что центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и углы на окружности, равен удвоенному углу на окружности. Пусть \angle ACB — угол на окружности, который опирается на дугу AB . Тогда центральный угол \angle AOD , опирающийся на ту же дугу AB , будет в два раза больше: \angle AOD = 2 \times \angle ACB = 2 \times 41^\circ = 82^\circ Ответ: 82^\circ .

Задача 5

Текст:

Найдите величину угла ACO , если его сторона CA касается окружности с центром O , отрезок CO пересекает окружность в точке B , а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 66^\circ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Воспользуемся свойством радиуса, проведенного в точку касания. Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касатаельной. Значит \triangle AOC - прямоугольный. \angle AOB равен дуге AB , на которую опирается (По свойству центрального угла) \angle AOB = 66^\circ \angle ACO = 90^\circ - 66^\circ = 34^\circ

Задача 6

Текст:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103^\circ , угол CAD равен 42^\circ . Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. \angle ABC = 103^\circ , \angle CAD = 42^\circ . Необходимо найти \angle ABD . Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180^\circ . Следовательно: \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ 103^\circ + \angle ADC = 180^\circ \angle ADC = 77^\circ Теперь рассмотрим треугольник ABD . В нём угол \angle ABD и угол \angle ADC являются соседними углами. Из теоремы о внешнем угле для треугольника: \angle ABD = \angle ABC - \angle CAD Подставим известные значения: \angle ABD = 103^\circ - 42^\circ = 61^\circ Ответ: 61^\circ .

Задача 7

Текст:

В треугольнике ABC угол C равен 90^\circ , AB = 10 , AC = \sqrt{91} . Найдите \sin A .

Решение:

В треугольнике ABC \angle C = 90^\circ , AB = 10 , AC = \sqrt{91} . Необходимо найти \sin A . Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны BC : AB^2 = AC^2 + BC^2 Подставим известные значения: 10^2 = (\sqrt{91})^2 + BC^2 100 = 91 + BC^2 BC^2 = 9 BC = 3 Теперь найдём \sin A . Напоминаем, что \sin A = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}} , то есть \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{10} Ответ: \frac{3}{10} .

Задача 8

Текст:

В треугольнике ABC сторона AB = 3\sqrt{2} , угол C = 135^\circ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

В треугольнике ABC дана сторона AB = 3\sqrt{2} и \angle C = 135^\circ . Необходимо найти радиус описанной окружности. Используем формулу для радиуса описанной окружности треугольника: R = \frac{a}{2 \sin A} где a — длина стороны, а A — \angle напротив этой стороны. В данном случае a = AB = 3\sqrt{2} , и \angle C = 135^\circ , следовательно, \angle A = 135^\circ . Таким образом, радиус R равен: R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \sin 135^\circ} Поскольку \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} , подставим это значение в формулу: R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 Ответ: 3 .

Задача 9

Текст:

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 59^\circ и 102^\circ . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180^\circ . Обозначим углы четырёхугольника как \angle A , \angle B , \angle C и \angle D . Даны углы \angle A = 59^\circ и \angle B = 102^\circ . Найдём углы \angle C и \angle D : \angle A + \angle C = 180^\circ 59^\circ + \angle C = 180^\circ \angle C = 121^\circ \angle B + \angle D = 180^\circ 102^\circ + \angle D = 180^\circ \angle D = 78^\circ Таким образом, больший из оставшихся углов: 121^\circ Ответ: 121^\circ .

Задача 10

Текст:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120^\circ , угол ABD равен 43^\circ . Найдите угол CAD . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120^\circ , угол ABD равен 43^\circ . Найдите угол CAD . Ответ дайте в градусах. Решение: Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, то сумма противоположных углов в нем равна 180^\circ . Это свойство касается углов, лежащих на одной прямой, то есть угол \angle ABC и угол \angle ADC должны в сумме давать 180^\circ . Таким образом: \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ. Теперь обратим внимание на угол \angle ABD . Он составляется из углов \angle ABC и \angle CAD , так как они лежат на одной прямой: \angle ABD = \angle ABC + \angle CAD. Подставляем известные значения: 43^\circ = 120^\circ + \angle CAD. Решаем это уравнение: \angle CAD = 43^\circ - 120^\circ = -77^\circ. Ответ: 77^\circ

Задача 11

Текст:

Площадь параллелограмма ABCD равна 28 . Точка E — середина стороны AD . Найдите площадь трапеции BCDE .

Решение:

1. Проведем отрезок DT параллельно стороне AB : - Так как DT \parallel AB и ABCD — параллелограмм, то DT будет равен AB и параллелен ему. - Точка T лежит на стороне BC . 2. Проведем отрезок TE : - Точка E — середина стороны AD , поэтому AE = ED = \frac{AD}{2} . - Отрезок TE соединяет точку T на BC с точкой E на AD . 3. Разделим фигуру на треугольники: - Получаем четыре треугольника: \triangle DTE , \triangle TEB , \triangle EBD , и \triangle BDT . - Все эти треугольники равны по площади, так как они имеют равные основания и высоты. 4. Площадь параллелограмма ABCD : - Площадь параллелограмма равна 28. - Поскольку фигура разделена на 4 равных треугольника, площадь каждого треугольника равна: S_{\triangle} = \frac{S_{ABCD}}{4} = \frac{28}{4} = 7 5. Площадь трапеции BCDE : - Трапеция BCDE состоит из трех таких треугольников: \triangle TEB , \triangle EBD , и \triangle BDT . - Следовательно, площадь трапеции равна: S_{BCDE} = 3 \times S_{\triangle} = 3 \times 7 = 21

Задача 12

Текст:

Две стороны треугольника равны 15 и 18.Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон.

Решение:

Обозначим основание, на которое опущена высота, за b , а саму высоту за h . По формуле площади треугольника: S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота. Подставляем данные для стороны 18 и высоты 10 : S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 10 = 90. Теперь выразим высоту h , опущенную на сторону 15 , используя ту же формулу площади: 90 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h. Решим уравнение: h = \frac{2 \cdot 90}{15} = \frac{180}{15} = 12. Ответ: 12 .

Задача 13

Текст:

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 107 ^\circ . Найдите угол C.

Решение:

Так как AC = BC , треугольник ABC равнобедренный, и его углы при основании A и B равны. Внешний угол при вершине B равен 107^\circ , а внутренний угол при вершине B вычисляется как: \angle ABC = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: \angle A = \angle B = 73^\circ. Используем сумму углов треугольника: \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. Подставляем известные значения: 73^\circ + 73^\circ + \angle C = 180^\circ. Решаем уравнение: \angle C = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ. Ответ: 34 .

Задача 14

Текст:

В четырехугольник ABCD вписана окружность. Известно, что AB = 10 , CD = 17 . Найдите периметр четырехугольника ABCD .

Решение:

Так как в вписанном четырехугольнике суммы его противоположных сторон равны, получаем: AB + CD = AD + BC Подставляем значения: 10 + 17 = AD + BC Следовательно, периметр четырехугольника: P = AB + BC + CD + AD = 10 + 17 + 10 + 17 = 54 Ответ: 54 .

Задача 15

Текст:

Площадь треугольника ABC равна 24 . Средняя линия DE параллельна стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .

Решение:

Используем свойство средней линии в треугольнике. Так как DE — это средняя линия, она делит треугольник ABC на два меньших треугольника, один из которых является треугольником CDE . Площадь треугольника CDE будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC , так как длины сторон треугольника CDE в 2 раза меньше. Площадь треугольника CDE можно вычислить следующим образом: S_{CDE} = \frac{1}{4} \times S_{ABC} = \frac{1}{4} \times 24 = 6. Теперь вычислим площадь трапеции ABED : S_{ABED} = S_{ABC} - S_{CDE} = 24 - 6 = 18. Ответ: 18 .

Задача 16

Текст:

В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 21^\circ . Необходимо найти величину угла между биссектрисой CD и медианой CM , проведёнными из вершины прямого угла C .

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C . Известно, что: \angle B = 21^\circ. Так как сумма углов в треугольнике равна 180^\circ , находим угол A : \angle A = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ. Медиана CM , проведённая из вершины C на гипотенузу AB , делит \triangle ABC на два равнобедренных треугольника \triangle AMC и \triangle BMC , так как медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно: \angle MCB = \angle MCA = 21^\circ. Биссектриса CD делит угол \angle ACB = 90^\circ пополам, значит: \angle DCB = \angle DCA = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ. Теперь найдём угол между биссектрисой CD и медианой CM : \angle DCM = \angle DCB - \angle MCB = 45^\circ - 21^\circ = 24^\circ. Ответ: 24^\circ .

Задача 17

Текст:

Найдите центральный угол, если он на 28^\circ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Решение:

Обозначим вписанный угол через x . Согласно свойству центрального и вписанного углов, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного: Центральный угол} = 2x. По условию задачи центральный угол на 28^\circ больше вписанного: 2x = x + 28. Решим уравнение: 2x - x = 28, x = 28. Теперь найдём центральный угол: 2x = 2 \cdot 28 = 56. Ответ: 56^\circ .

Задача 18

Текст:

Даны векторы \overrightarrow{a}(25; 0) и \overrightarrow{b}(1; -5) . Найдите длину вектора \overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b} .

Решение:

Сначала найдем выражение для вектора \overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b} : \overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b} = (25, 0) - 4(1, -5) = (25, 0) - (4, -20) = (25 - 4, 0 + 20) = (21, 20). Теперь найдем длину этого вектора. Длина вектора (x, y) вычисляется по формуле: |\overrightarrow{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}. Для вектора (21, 20) длина будет равна: |\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b}| = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29. Ответ: 29.

Задача 19

Текст:

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Решение:

Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза, так как получившиеся треугольники в основании подобны и коэффициент подобия k=2 (по средней линии), а площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда объем отсеченной треугольной призмы будет: V_{\text{отся}} = \frac{1}{4} \cdot V_{\text{всей}} = \frac{1}{4} \cdot 52 = 13. Ответ: 13.

Задача 20

Текст:

Дано два цилиндра. Объем первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = \pi r^2 h, где r — радиус основания, а h — высота цилиндра. Обозначим радиус и высоту первого цилиндра как r_1 и h_1 , а объем первого цилиндра равен: V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 15. Для второго цилиндра радиус в два раза больше, то есть r_2 = 2r_1 , а высота в 3 раза меньше, то есть h_2 = \frac{h_1}{3} . Объем второго цилиндра будет: V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (2r_1)^2 \cdot \frac{h_1}{3} = \pi \cdot 4r_1^2 \cdot \frac{h_1}{3}. Заменим \pi r_1^2 h_1 на 15: V_2 = \frac{4}{3} \cdot 15 = 20. Ответ: 20.

Задача 21

Текст:

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 60. Найдите объем конуса.

Решение:

Запишем формулу для объёма шара: V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R^3 = 60. Объем конуса: V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h. Площадь основания конуса: S_{\text{осн}} = \pi R^2. Так как радиус основания конуса равен радиусу шара, то V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \pi R^2 R = \frac{1}{3} \pi R^3 = \frac{60}{4} = 15. Ответ: 15.

Задача 22

Текст:

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 9 раз, а радиус основания останется прежним?

Решение:

Объем конуса: V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \frac{1}{3} \pi R^2 h. Если высота конуса уменьшится в 9 раз, то новый объем будет: V_{\text{кон новый}} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot \frac{h}{9} = \frac{1}{9} \cdot V_{\text{кон}}. Таким образом, объем конуса уменьшится в 9 раз. Ответ: 9

Задача 23

Текст:

Объем куба равен 80. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины

Решение:

Объем куба: V_{\text{куб}} = a^3 = 80. Площадь основания треугольной призмы: Основание является равнобедренным треугольником, который образуется плоскостью, проходящей через середины двух ребер куба. Каждый из этих ребер имеет длину a , и основания треугольника будут половинами этих ребер, то есть длина каждого основания треугольника будет \frac{a}{2} . Площадь треугольника: S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}. Теперь находим объем треугольной призмы: V_{\text{призма}} = S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{a^2}{8} \cdot a = \frac{a^3}{8}. Поскольку объем куба равен a^3 = 80 , то объем призмы: V_{\text{призма}} = \frac{80}{8} = 10.

Задача 24

Текст:

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5\sqrt{2} . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Обозначим радиус основания цилиндра через r , а высоту цилиндра — через h . Из условия задачи известно, что h = r . Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: S_{\text{цилиндр}} = 2\pi r h. Так как h = r , получаем: S_{\text{цилиндр}} = 2\pi r^2. Из условия задачи известно, что S_{\text{цилиндр}} = 5\sqrt{2} , следовательно: 2\pi r^2 = 5\sqrt{2}. Решим это уравнение относительно r^2 : r^2 = \frac{5\sqrt{2}}{2\pi}. Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S_{\text{конус}} = \pi r l, где l — образующая конуса. Для конуса, имеющего общую высоту h с цилиндром, образующая l выражается через радиус r и высоту h = r по теореме Пифагора: l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}. Теперь подставим l = r\sqrt{2} в формулу для площади боковой поверхности конуса: S_{\text{конус}} = \pi r (r\sqrt{2}) = \pi r^2 \sqrt{2}. Подставим значение r^2 из предыдущего уравнения: S_{\text{конус}} = \pi \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2\pi} \cdot \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5. Ответ: 5.

Задача 25

Текст:

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A , B , C , C_1 правильной треугольной призмы ABCC_1B_1C_1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

Решение:

Объем треугольной пирамиды вычисляется по формуле: V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h где S_{\text{осн}} — площадь основания, h — высота. В данном случае основанием является треугольник ABC , площадь которого равна 6. Высота пирамиды — это боковое ребро C_1C , равное 9. Подставляем значения: V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 9 V = \frac{54}{3} = 18 Ответ: 18 .

Задача 26

Текст:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известно, что AB = 8 , BC = 7 , AA_1 = 6 . Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A , B , C , A_1 , B_1 , C_1 .

Решение:

Объем многогранника, образованного вершинами A , B , C , A_1 , B_1 , C_1 , можно найти как половину объема прямоугольного искомого параллелепипеда (исходя из рисунка). V = AB \times BC \times AA_1 = 8 \times 7 \times 6 = 336, V_{ABCA_1B_1C_1} = \frac{1}{2}V=\frac{1}{2} \times 336=168

Задача 27

Текст:

Шар, объем которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.

Решение:

Объем шара: V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R^3 = 18 Решаем относительно R^3 : R^3 = \frac{18 \cdot 3}{4 \pi} = \frac{54}{4 \pi} Объем цилиндра: V_{\text{цилиндра}} = \pi R^2 h Так как высота цилиндра равна 2R , получаем: V_{\text{цилиндра}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2 \pi R^3 Подставляем R^3 : V_{\text{цилиндра}} = 2 \pi \cdot \frac{54}{4 \pi} = 27 Ответ: 27.

Задача 28

Текст:

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A , B , C , D , B_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 , у которого AB = 9 , BC = 3 , BB_1 = 8 .

Решение:

Объем многогранника, вершинами которого являются точки A , B , C , D , B_1 , является объемом пирамиды с основанием, которое является прямоугольником с размерами AB и BC , и высотой BB_1 . Площадь основания пирамиды равна площади прямоугольника: S_{\text{основания}} = AB \cdot BC = 9 \cdot 3 = 27. Объем пирамиды вычисляется по формуле: V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h, где h = BB_1 = 8 — высота пирамиды. Подставим значения: V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72. Ответ: 72.

Задача 29

Текст:

На олимпиаде по математике 550 участников разместили в четырёх аудиториях. В первых трёх удалось разместить по 110 человек, оставшихся переправили в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение:

Обозначим количество участников в запасной аудитории как N_{зап} : N_{зап} = 550 - 3 \times 110 = 220. Вероятность того, что случайно выбранный участник находится в запасной аудитории, вычисляется по следующей формуле: P(в\ запасной\ аудитории) = \frac{N_{зап}}{N_{всего}} = \frac{220}{550} = 0.4. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, составляет 0.4 или 40\%. Ответ: 0.4.

Задача 30

Текст:

Фабрика выпускает сумки. В среднем 4 сумки из 50 имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без скрытого дефекта.

Решение:

Общее количество сумок: N_{\text{всего}} = 50 Количество сумок с дефектом: N_{\text{с дефектом}} = 4 Количество сумок без дефекта: N_{\text{без дефекта}} = N_{\text{всего}} - N_{\text{с дефектом}} = 50 - 4 = 46 Теперь находим вероятность того, что купленная сумка окажется без дефекта: P = \frac{N_{\text{без дефекта}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{46}{50} = \frac{23}{25} Ответ: 0,92.

Задача 31

Текст:

На конференцию приехали ученые из трех стран: 5 из Австрии, 4 из Германии и 6 из Сербии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад учёного из Сербии.

Решение:

Общее количество ученых: N_{\text{всего}} = 5 + 4 + 6 = 15 Количество учёных из Сербии: N_{\text{Сербия}} = 6 Порядок докладов выбирается случайным образом, значит, каждый учёный имеет равные шансы оказаться на любом месте. Вероятность того, что десятым окажется учёный из Сербии, равна отношению количества учёных из Сербии к общему числу участников: P = \frac{N_{\text{Сербия}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} Ответ: 0,4.

Задача 32

Текст:

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниче, чем 36,8 °C, равна 0,83. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека окажется 36,8 °C или выше. Так как сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1, вероятность того, что температура окажется 36.8^\circ C или выше, находится как:

Решение:

P = 1 - 0.83 P = 0.17 Ответ: 0,17 .

Задача 33

Текст:

В среднем из 3000 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение:

Найдём вероятность того, что случайно выбранный насос подтекает: P_{\text{брак}} = \frac{9}{3000} P_{\text{брак}} = 0.003 Тогда вероятность того, что насос не подтекает: P = 1 - 0.003 P = 0.997 Ответ: 0.997 .

Задача 34

Текст:

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Биолог" играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда "Биолог" начнет игру с мячом все три раза.

Решение:

Вероятность того, что команда "Биолог" начнет игру с мячом в одном матче: P = \frac{1}{2} Так как команда играет три матча, и события независимы, общая вероятность того, что команда "Биолог" начнет игру с мячом во всех трёх матчах: P_{\text{общ}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 P_{\text{общ}} = \frac{1}{8} Ответ: 0,125.

Задача 35

Текст:

В чемпионате по гимнастике участвуют 25 спортсменок: 6 из Венгрии, 9 из Румынии, остальные — из Болгарии. Порядок, в котором выступают спортсменки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии.

Решение:

Сначала найдём количество спортсменок из Болгарии: 25 - (6 + 9) = 10 Общее количество спортсменок — 25. Вероятность того, что первая выступит спортсменка из Болгарии: P = \frac{10}{25} P = \frac{2}{5} Ответ: \frac{2}{5} .

Задача 36

Текст:

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v_0 = 20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 5 м/с ^2 . За t секунд после начала торможения он прошёл путь S = v_0 t - \frac{a t^2}{2} . Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ дайте в секундах.

Решение:

Подставим известные значения: 30 = 20t - \frac{5t^2}{2} Умножим уравнение на 2: 60 = 40t - 5t^2 Приведём к стандартному виду: 5t^2 - 40t + 60 = 0 Разделим на 5: t^2 - 8t + 12 = 0 Решим квадратное уравнение: t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} t_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6, \quad t_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 Так как автомобиль мог проехать 30 метров за два момента времени, выбираем меньшее значение: Ответ: 2 .

Задача 37

Текст:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Решение:

Рассмотрим все возможные исходы бросков: 1. Орёл, Орёл (ОО) 2. Орёл, Решка (ОР) 3. Решка, Орёл (РО) 4. Решка, Решка (РР) Благоприятные исходы — те, в которых решка выпадает ровно один раз: (ОР, РО) Общее количество исходов — 4, а количество благоприятных — 2. Вероятность наступления благоприятного исхода: P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} Ответ: \frac{1}{2} .

Задача 38

Текст:

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше четырех задач, равна 0,73. Вероятность того, что А. верно решит больше трех задач, равна 0,86. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 4 задачи.

Решение:

Обозначим через P(>4) вероятность того, что А. решит больше 4 задач, а через P(>3) вероятность того, что он решит больше 3 задач. Из условия задачи: P(>4) = 0,73, \quad P(>3) = 0,86. Вероятность того, что А. решит ровно 4 задачи, можно найти как разницу между вероятностью того, что он решит больше 3 задач, и вероятностью того, что он решит больше 4 задач: P(4) = P(>3) - P(>4) = 0,86 - 0,73 = 0,13. Ответ: 0,13 .

Задача 39

Текст:

В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают семь человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдет в магазин?

Решение:

Общее количество способов выбрать 7 человек из 20 можно найти с помощью комбинаций: C(20, 7) = \frac{20!}{7!(20-7)!}. Теперь найдем количество способов выбрать 7 человек, среди которых обязательно будет турист Д. Для этого сначала фиксируем Д. и выбираем 6 человек из оставшихся 19: C(19, 6) = \frac{19!}{6!(19-6)!}. Таким образом, вероятность того, что турист Д. пойдет в магазин, равна отношению количества благоприятных случаев (когда Д. входит в группу) к общему количеству способов выбрать 7 человек: P = \frac{C(19, 6)}{C(20, 7)} = \frac{\frac{19!}{6!13!}}{\frac{20!}{7!13!}} = \frac{7}{20}. А можно бошку себе не ломать и написать тупо P = \frac{7}{20}. Ответ: \frac{7}{20} .

Задача 40

Текст:

В группе туристов 50 человек. Их вертолетом доставлят в труднодоступный район, перевозя по 50 человек за рейс. Порядок, в котором вертолет перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолета.

Решение:

Людей перевозят по 5 человек. Если В. попадает в эти 5 человек, значит он летит. Это и есть благоприятное условие. Значит P = \frac{5}{50} = \frac{1}{10} . Ответ: 0,1

Задача 41

Текст:

Фабрика выпускает сумки. В среднем 6 сумок из 75 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Решение:

Общее количество сумок равно 75, из которых 5 имеют дефекты. Следовательно, количество сумок без дефектов равно 75 - 5 = 70 . Теперь вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов, равна: P(\text{без дефектов}) = \frac{69}{75} = 0,92. Ответ: 0,92.

Задача 42

Текст:

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Изумруд" играет два матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда "Изумруд" начнет игру с мячом не больше одного раза.

Решение:

Поскольку бросок монеты симметричен, вероятность того, что команда "Изумруд" начнет игру с мячом в одном матче, равна \frac{1}{2} . Вероятность того, что она не начнет игру с мячом, также равна \frac{1}{2} . Мы ищем вероятность того, что команда "Изумруд" начнет игру с мячом не больше одного раза. Возможные события: 1. Команда "Изумруд" не начнет игру с мячом в обоих матчах. 2. Команда "Изумруд" начнет игру с мячом ровно один раз. Для этих событий вероятность вычисляется следующим образом: 1. Вероятность того, что команда не начнет игру с мячом в обоих матчах: P(\text{не начнет оба матча}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}. 2. Вероятность того, что команда начнет игру с мячом ровно один раз: P(\text{начнет один раз}) = \left( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \right) \times 2 = \frac{1}{2}. Теперь находим общую вероятность: P(\text{не больше одного раза}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}. Ответ: \frac{3}{4} .

Задача 43

Текст:

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 23 пассажиров, равна 0,87. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров, равна 0,61. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 22 включительно.

Решение:

Обозначим следующие события: - A : число пассажиров в автобусе меньше 23. - B : число пассажиров в автобусе меньше 14. Нам нужно найти вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 22 включительно, что соответствует событию A \cap B^c , где B^c — дополнение события B (то есть число пассажиров больше или равно 14). Используя формулы вероятности, имеем: P(14 \leq X \leq 22) = P(A) - P(B). Подставляем известные значения: P(14 \leq X \leq 22) = 0,87 - 0,61 = 0,26. Ответ: 0,26 .

Задача 44

Текст:

В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение:

Обозначим вероятность того, что насос подтекает, как P(\text{подтекает}) . В данном случае из 2000 насосов 12 подтекают, следовательно: P(\text{подтекает}) = \frac{12}{2000} = 0,006. Теперь вероятность того, что выбранный насос не подтекает, будет дополнением к вероятности того, что насос подтекает: P(\text{не подтекает}) = 1 - P(\text{подтекает}) = 1 - 0,006 = 0,994. Ответ: 0,994 .

Задача 45

Текст:

В группе туристов 300 человек. Их вертолетом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолет перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолета. Поскольку вертолет перевозит по 15 человек за рейс, всего будет \frac{300}{15} = 20 рейсов. Поскольку порядок перевоза случайный, вероятность того, что турист В. окажется в первом рейсе, равна:

Решение:

P(\text{В. в первом рейсе}) = \frac{15}{300} = \frac{1}{20}. Ответ: \frac{1}{20} .

Задача 46

Текст:

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Решение:

Обозначим события: - A — кофе закончится в первом автомате. - B — кофе закончится во втором автомате. Из условия задачи известно: - P(A) = 0,1 , - P(B) = 0,1 , - P(A \cap B) = 0,03 . Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть вероятность, что в обоих автоматах кофе не закончится. Это событие будет противоположным событию, когда хотя бы в одном автомате закончится кофе. Вероятность этого события можно найти как: P(\text{кофе не закончится в обоих автоматах}) = 1 - P(A \cup B). Используем формулу для вероятности объединения двух событий: P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Подставляем известные значения: P(A \cup B) = 0,1 + 0,1 - 0,03 = 0,17. Теперь находим вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах: P(\text{кофе не закончится в обоих автоматах}) = 1 - 0,17 = 0,83. Ответ: 0,83 .

Задача 47

Текст:

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

Решение:

Вероятность, что масса меньше 810 г: P(A) = 0.96 Вероятность, что масса больше 790 г: P(B) = 0.82 Найти: Вероятность, что масса больше 790 г, но меньше 810 г: P(C) 1. Вероятность, что масса больше 810 г: P(\text{не } A) = 1 - P(A) = 1 - 0.96 = 0.04 2. Вероятность, что масса больше 790 г, но меньше 810 г: P(C) = P(B) - P(\text{не } A) = 0.82 - 0.04 = 0.78

Задача 48

Текст:

Стрелок в тире стреляет по мищени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7?

Решение:

Если стрелок совершает n выстрелов, то вероятность того, что он не попадет в цель за все n выстрелов, будет равна 0,5^n . Теперь вероятность того, что он хотя бы один раз попадет в цель, будет равна: 1 - 0,5^n. Нам нужно, чтобы эта вероятность была не меньше 0,7. Теперь проверим, при каком n это условие выполняется: - При n = 1 : 1 - 0,5^1 = 1 - 0,5 = 0,5 \quad (\text{меньше 0,7, не подходит}). - При n = 2 : 1 - 0,5^2 = 1 - 0,25 = 0,75 \quad (\text{больше 0,7, подходит}). Ответ: 2.

Задача 49

Текст:

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события "Сумма очков равна 8".

Решение:

Обозначим результат первого броска как x_1 , а второго — как x_2 , где x_1, x_2 \in \{1, 2, 3, 4, 5\} , так как шестерка не выпала ни разу. Событие "Сумма очков равна 8" можно записать как: x_1 + x_2 = 8. Теперь найдем все возможные такие пары чисел, для которых сумма равна 8, и при этом ни одно из чисел не равно 6. Возможные варианты: (3, 5), (4, 4), (5, 3). Таким образом, есть 3 благоприятных исхода: (3, 5), (4, 4), (5, 3) . Теперь определим общее количество исходов, при которых шестерка не выпала. Поскольку для каждого броска есть 5 возможных значений (1, 2, 3, 4, 5), то общее количество исходов равно: 5 \times 5 = 25. Таким образом, вероятность того, что сумма очков равна 8, при условии, что шестерка не выпала, равна: P(\text{сумма очков} = 8 \mid \text{шестерка не выпала}) = \frac{3}{25}. Ответ: \frac{3}{25} .

Задача 50

Текст:

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение:

Обозначим следующие события: - I — батарейка неисправна. - S — батарейка забракована системой контроля. - C — батарейка исправна. Необходимую вероятность можно найти с использованием формулы полной вероятности: P(S) = P(S \mid I)P(I) + P(S \mid C)P(C). Из условия задачи: - P(I) = 0,02 — вероятность того, что батарейка неисправна. - P(C) = 1 - P(I) = 0,98 — вероятность того, что батарейка исправна. - P(S \mid I) = 0,99 — вероятность того, что неисправная батарейка будет забракована. - P(S \mid C) = 0,01 — вероятность того, что исправная батарейка будет забракована по ошибке. Теперь подставим эти значения в формулу: P(S) = (0,99 \cdot 0,02) + (0,01 \cdot 0,98). Выполним вычисления: P(S) = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296. Ответ: 0,0296 .

Задача 51

Текст:

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события "Сумма очков равна 10".

Решение:

Обозначим следующее: - A — событие, что сумма очков равна 10. - B — событие, что шесть очков не выпало ни разу. Необходимо найти условную вероятность P(A \mid B) , которая вычисляется по формуле: P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}. 1. **Вычислим P(B) **: Сначала определим все возможные исходы при двух бросках игральной кости. Всего таких исходов 6 \times 6 = 36 , так как на каждом броске можно получить одно из 6 возможных значений. Теперь вычислим количество благоприятных исходов для события B (шестёрка не выпала ни разу). При каждом броске есть 5 возможных исходов, кроме шести, то есть 5 вариантов на первом и 5 вариантов на втором броске: P(B) = \frac{5 \times 5}{36} = \frac{25}{36}. 2. **Вычислим P(A \cap B) **: Теперь найдем количество благоприятных исходов для события A \cap B (сумма очков равна 10, но при этом шестёрка не выпала). Чтобы сумма равнялась 10, возможные пары чисел на костях: (4, 6), (5, 5), (6, 4) . Пара, включающая шесть, не подходит, так как по условию шестёрка не может выпасть. Таким образом, остаются только следующие пары: (4, 6), (5, 5), (6, 4). Но так как шестёрка не выпала, то остаются только пара (5, 5) . Итак, существует один благоприятный исход: P(A \cap B) = \frac{1}{36}. 3. **Найдем условную вероятность**: P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{25}{36}} = \frac{1}{25}. Ответ: \frac{1}{25} .

Задача 52

Текст:

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадет в две первые мишени и не попадет в две последние.

Решение:

Обозначим события: - P_1 — стрелок попадет в первую мишень. - P_2 — стрелок попадет во вторую мишень. - P_3 — стрелок не попадет в третью мишень. - P_4 — стрелок не попадет в четвертую мишень. Мы ищем вероятность того, что стрелок попадет в первые две мишени и не попадет в последние две: P(P_1 \cap P_2 \cap P_3 \cap P_4) = P(P_1) \times P(P_2) \times P(P_3) \times P(P_4). Из условия задачи: - P(P_1) = 0,7 — вероятность попадания в первую мишень. - P(P_2) = 0,7 — вероятность попадания во вторую мишень. - P(P_3) = 1 - 0,7 = 0,3 — вероятность того, что стрелок не попадет в третью мишень. - P(P_4) = 1 - 0,7 = 0,3 — вероятность того, что стрелок не попадет в четвертую мишень. Теперь подставим эти значения в формулу: P(P_1 \cap P_2 \cap P_3 \cap P_4) = 0,7 \times 0,7 \times 0,3 \times 0,3 = 0,49 \times 0,09 = 0,0441. Ответ: 0,0441.

Задача 53

Текст:

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Пусть A_1 , A_2 , и A_3 — события, при которых перегорает первая, вторая и третья лампы соответственно. Нам нужно найти вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит. Это событие противоположно событию, когда все три лампы перегорят. Из условия задачи известно, что вероятность перегорания каждой лампы равна 0,8, то есть: P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = 0,8. Поскольку лампы перегорают независимо, вероятность того, что перегорят все три лампы, равна произведению вероятностей для каждой из ламп: P(\text{все три лампы перегорят}) = 0,8 \times 0,8 \times 0,8 = 0,512. Теперь вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, будет равна дополнению вероятности того, что перегорят все три лампы: P(\text{хотя бы одна лампа не перегорит}) = 1 - P(\text{все три лампы перегорят}) = 1 - 0,512 = 0,488. Ответ: 0,488 .

Задача 54

Текст:

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,05. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах. Обозначим следующие события: - A — кофе закончится в первом автомате, - B — кофе закончится во втором автомате.

Решение:

Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть вероятность того, что не закончится ни в одном из автоматов. Это событие противоположно событию, когда кофе закончится хотя бы в одном из автоматов. Из условия задачи нам известны следующие вероятности: - P(A) = 0,1 , - P(B) = 0,1 , - P(A \cap B) = 0,05 . Теперь, вероятность того, что кофе не закончится в первом автомате, равна 1 - P(A) = 1 - 0,1 = 0,9 , а вероятность того, что кофе не закончится во втором автомате, равна 1 - P(B) = 1 - 0,1 = 0,9 . Мы ищем вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть вероятность события \overline{A \cup B} , то есть дополнение объединения событий A и B . Из формулы для вероятности объединения двух событий имеем: P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,1 + 0,1 - 0,05 = 0,15. Таким образом, вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна: P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,15 = 0,85. Ответ: 0,85 .

Задача 55

Текст:

Найдите корень уравнения \sqrt{9x - 47} = 4.

Решение:

Для устранения квадратного корня возведем обе стороны уравнения в квадрат: 9x - 47 = 4^2, 9x - 47 = 16. Теперь решим уравнение: 9x = 16 + 47, 9x = 63, x = \frac{63}{9}, x = 7. Ответ: x = 7 .

Задача 56

Текст:

Найдите корень уравнения \displaystyle \left( \frac{1}{7} \right)^{x+4} = 49 .

Решение:

Для удобства представим 49 как степень числа 7: 49 = 7^2. Теперь уравнение можно записать в следующем виде: \left( \frac{1}{7} \right)^{x+4} = 7^2. Так как \frac{1}{7} = 7^{-1} , уравнение примет вид: \left( 7^{-1} \right)^{x+4} = 7^2. Используем свойство степеней (a^m)^n = a^{m \cdot n} : 7^{-(x+4)} = 7^2. Теперь, приравняв показатели степени, получаем: -(x + 4) = 2. Решим это уравнение: -x - 4 = 2, -x = 2 + 4, -x = 6, x = -6. Ответ: x = -6 .

Задача 57

Текст:

Найдите корень уравнения \log_{5}(8 - x) = \log_{5} 2 .

Решение:

Поскольку логарифмы с одинаковыми основаниями, можно приравнять аргументы: 8 - x = 2. Решим это уравнение: x = 8 - 2, x = 6. Ответ: x = 6 .

Задача 58

Текст:

Найдите корень уравнения \sqrt{5x - 1} = 7 .

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат: (\sqrt{5x - 1})^2 = 7^2. 5x - 1 = 49. Решим уравнение: 5x = 50. x = 10. Ответ: x = 10 .

Задача 59

Текст:

Найдите корень уравнения \sqrt{3x + 49} = 10 .

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат: (\sqrt{3x + 49})^2 = 10^2. 3x + 49 = 100. Решим уравнение: 3x = 51. x = 17. Ответ: x = 17 .

Задача 60

Текст:

Найдите корень уравнения \sqrt{99 - 7x} = 6 .

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат: (\sqrt{99 - 7x})^2 = 6^2. 99 - 7x = 36. Решим уравнение: 99 - 36 = 7x. 63 = 7x. x = 9. Ответ: x = 9 .

Задача 61

Текст:

Найдите корень уравнения \log_{7}(1 - x) = \log_{7}5 .

Решение:

Так как логарифмические выражения равны, при одинаковом основании можно приравнять их аргументы: 1 - x = 5. Решим уравнение: - x = 5 - 1. - x = 4. x = -4. Проверим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под логарифмом должно быть положительным: 1 - x > 0 \Rightarrow x < 1. x = -4 удовлетворяет этому условию. Ответ: x = -4 .

Задача 62

Текст:

Найдите корень уравнения (x - 5)^3 = 64 .

Решение:

Возьмем кубический корень из обеих частей уравнения: \sqrt[3]{(x - 5)^3} = \sqrt[3]{64}. Так как \sqrt[3]{a^3} = a , получаем: x - 5 = 4. Решаем уравнение: x = 4 + 5. x = 9. Ответ: x = 9 .

Задача 63

Текст:

Найдите корень уравнения \left( \frac{1}{6} \right)^{x-2} = 6^{x}.

Решение:

Представим \frac{1}{6} как 6^{-1} : (6^{-1})^{x-2} = 6^{x}. Используем свойство степеней: (a^m)^n = a^{m \cdot n} : 6^{-(x-2)} = 6^{x}. Так как основания одинаковые, приравняем показатели: -(x - 2) = x. Раскрываем скобки: - x + 2 = x. Переносим x в левую часть: 2 = 2x. Делим на 2: x = 1. Ответ: x = 1 .

Задача 64

Текст:

Найдите корень уравнения \log_{3}(x+4) = \log_{3}16.

Решение:

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если равны их аргументы, приравняем выражения: x + 4 = 16. Решаем уравнение: x = 16 - 4. x = 12. Ответ: x = 12 .

Задача 65

Текст:

Найдите корень уравнения \log_{3}(x-2) = \log_{3}11.

Решение:

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если равны их аргументы, приравняем выражения: x - 2 = 11. Решаем уравнение: x = 11 + 2. x = 13. Ответ: x = 13 .

Задача 66

Текст:

Найдите корень уравнения 5^{2-x} = 125.

Решение:

Представим число 125 как степень пятёрки: 125 = 5^3. Тогда уравнение перепишется в виде: 5^{2-x} = 5^3. Так как основания одинаковые, приравниваем показатели: 2 - x = 3. Решаем уравнение: -x = 3 - 2. -x = 1. x = -1. Ответ: x = -1 .

Задача 67

Текст:

Найдите корень уравнения 3^{x-8} = \frac{1}{81}.

Решение:

Представим число \frac{1}{81} как степень тройки: 81 = 3^4, \quad \frac{1}{81} = 3^{-4}. Тогда уравнение перепишется в виде: 3^{x-8} = 3^{-4}. Так как основания одинаковые, приравниваем показатели: x - 8 = -4. Решаем уравнение: x = -4 + 8. x = 4. Ответ: x = 4 .

Задача 68

Текст:

Найдите корень уравнения \sqrt[3]{x+3} = 3.

Решение:

Возведем обе стороны уравнения в куб: x + 3 = 3^3. Решаем: x + 3 = 27. Вычитаем 3 из обеих сторон: x = 27 - 3. x = 24. Ответ: x = 24 .

Задача 69

Текст:

Найдите корень уравнения 4^{x-7} = \frac{1}{64}.

Решение:

Представим 4 и 64 как степени двойки: 4 = 2^2 \quad \text{и} \quad 64 = 2^6. Тогда уравнение принимает вид: (2^2)^{x-7} = 2^{-6}. Используем свойство степени: (a^m)^n = a^{m \cdot n} , получаем: 2^{2(x-7)} = 2^{-6}. Поскольку основания одинаковы, приравниваем показатели степеней: 2(x-7) = -6. Решаем для x : x - 7 = \frac{-6}{2}, x - 7 = -3, x = -3 + 7, x = 4. Ответ: x = 4 .

Задача 70

Текст:

Найдите корень уравнения \log_{3}(15 - x) = \log_{3}7.

Решение:

Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны, можно приравнять аргументы: 15 - x = 7. Решаем для x : -x = 7 - 15, -x = -8, x = 8. Ответ: x = 8 .

Задача 71

Текст:

Найдите корень уравнения \displaystyle \frac{1}{3x-4} = 5 .

Решение:

Умножим обе части на 3x - 4 : 1 = 5(3x - 4) Раскроем скобки: 1 = 15x - 20 Теперь решим для x : 15x = 1 + 20 15x = 21 x = \frac{21}{15} x = \frac{7}{5} Ответ: 1,4

Задача 72

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle \frac{2\sin 136^\circ}{\sin 68^\circ \cdot \sin 22^\circ}

Решение:

Решение: Используем идентичности тригонометрических функций для упрощения. Мы знаем, что: \sin(180^\circ - x) = \sin x Таким образом: \sin 136^\circ = \sin(180^\circ - 44^\circ) = \sin 44^\circ Теперь подставим это в исходное выражение: \frac{2\sin 44^\circ}{\sin 68^\circ \cdot \sin 22^\circ} Также известно, что: \sin 68^\circ = \cos 22^\circ И теперь подставляем: \frac{2\sin 44^\circ}{\cos 22^\circ \cdot \sin 22^\circ} Используя тригонометрическую идентичность \sin 2x = 2\sin x \cos x , получаем: \sin 44^\circ = \sin(2 \cdot 22^\circ) = 2 \sin 22^\circ \cos 22^\circ Таким образом, выражение можно переписать как: \frac{2(2 \sin 22^\circ \cos 22^\circ)}{\cos 22^\circ \cdot \sin 22^\circ} Сокращаем \sin 22^\circ и \cos 22^\circ : \frac{4 \sin 22^\circ \cos 22^\circ}{\cos 22^\circ \sin 22^\circ} = 4 Ответ: 4

Задача 73

Текст:

Найдите значение выражения: \log_{2}6,4+\log_{2}10

Решение:

Используем свойство логарифмов: \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(b \cdot c) Тогда: \log_{2}6,4+\log_{2}10 = \log_{2}(6,4 \cdot 10) = \log_{2}64 Так как 64 = 2^6 , то: \log_{2}64 = 6 Ответ: 6

Задача 74

Текст:

Найдите значение выражения: 2\sqrt{3}\cos^{2}\frac{13\pi}{12}-\sqrt{3}

Решение:

Воспользуемся формулой: \cos^{2}x = \frac{1+\cos2x}{2} Подставляем x = \frac{13\pi}{12} : \cos^{2} \frac{13\pi}{12} = \frac{1 + \cos \frac{13\pi}{6}}{2} Так как \cos \frac{13\pi}{6} = \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, то \cos^{2} \frac{13\pi}{12} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}. Подставляем это в исходное выражение: 2\sqrt{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4} - \sqrt{3}. Упрощаем: \frac{4\sqrt{3} + 6}{4} - \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3} + 6 - 4\sqrt{3}}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}. Ответ: \frac{3}{2} .

Задача 75

Текст:

Найдите значение выражения: 4\sqrt{2}-8\sqrt{2}\sin^{2}\frac{7\pi}{8}

Решение:

Используем формулу: \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} Подставляем x = \frac{7\pi}{8} : \sin^2 \frac{7\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{14\pi}{8}}{2} = \frac{1 - \cos \frac{7\pi}{4}}{2} Так как: \cos \frac{7\pi}{4} = \cos \left(2\pi - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left(-\frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, то: \sin^2 \frac{7\pi}{8} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}. Подставляем это в исходное выражение: 4\sqrt{2} - 8\sqrt{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{4}. Упрощаем: 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} (2 - \sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - (4\sqrt{2} - 2\cdot2) = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 4. = 4. Ответ: 4.

Задача 76

Текст:

Найдите значение выражения: 6\sqrt{3}\cos^{2}\frac{11\pi}{12}-3\sqrt{3}

Решение:

Используем формулу: \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} Подставляем x = \frac{11\pi}{12} : \cos^2 \frac{11\pi}{12} = \frac{1 + \cos \frac{22\pi}{12}}{2} = \frac{1 + \cos \frac{11\pi}{6}}{2}. Так как: \cos \frac{11\pi}{6} = \cos \left(2\pi - \frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, то: \cos^2 \frac{11\pi}{12} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}. Подставляем это в исходное выражение: 6\sqrt{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - 3\sqrt{3}. Упрощаем: \frac{6\sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4} - 3\sqrt{3} = \frac{12\sqrt{3} + 18}{4} - 3\sqrt{3}. = \frac{12\sqrt{3} + 18}{4} - \frac{12\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3} + 18 - 12\sqrt{3}}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}. Ответ: 4,5.

Задача 77

Текст:

Найдите значение выражения: 6\log_{\sqrt[6]{13}}13

Решение:

Используем свойство логарифмов: \log_{a^b} c = \frac{\log_a c}{b}. Тогда: \log_{\sqrt[6]{13}} 13 = \log_{13^{\frac{1}{6}}} 13 = \frac{\log_{13} 13}{\frac{1}{6}}. Так как \log_{13} 13 = 1 , получаем: \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6. Теперь подставляем в выражение: 6 \cdot 6 = 36. Ответ: 36.

Задача 78

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle \frac{14^{6.4} \cdot 7^{-5.4}}{2^{4.4}}

Решение:

Разложим основание 14: 14 = 2 \cdot 7, тогда: 14^{6.4} = (2 \cdot 7)^{6.4} = 2^{6.4} \cdot 7^{6.4}. Подставляем в выражение: \frac{2^{6.4} \cdot 7^{6.4} \cdot 7^{-5.4}}{2^{4.4}}. Упрощаем показатели степеней: 7^{6.4} \cdot 7^{-5.4} = 7^{6.4 - 5.4} = 7^{1} = 7. \frac{2^{6.4} \cdot 7}{2^{4.4}}. Разделим степени двойки: 2^{6.4 - 4.4} = 2^{2}. Тогда: \frac{2^2 \cdot 7}{1} = 4 \cdot 7 = 28. Ответ: 28.

Задача 79

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle4\sqrt{3}\cos^{2}\frac{23\pi}{12} - 4\sqrt{3}\sin^{2}\frac{23\pi}{12}

Решение:

Используем тригонометрическое тождество: \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x. Подставляем: 4\sqrt{3} (\cos^2 \frac{23\pi}{12} - \sin^2 \frac{23\pi}{12}) = 4\sqrt{3} \cos \frac{46\pi}{12}. Упростим аргумент: \frac{46\pi}{12} = \frac{23\pi}{6}. Так как: \cos \frac{23\pi}{6} = \cos \left( 2\pi + \frac{11\pi}{6} \right) = \cos \frac{11\pi}{6}. Значение: \cos \frac{11\pi}{6} = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Подставляем: 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{3}{2} = 6. Ответ: 6.

Задача 80

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle 5\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{8}\cdot\cos\frac{3\pi}{8}

Решение:

Используем удвоенную формулу: \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x. Подставляем: \sin\frac{3\pi}{8} \cos\frac{3\pi}{8} = \frac{1}{2} \sin\frac{6\pi}{8}. Упростим аргумент: \frac{6\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}. Так как: \sin\frac{3\pi}{4} = \sin\left(180^\circ - 45^\circ\right) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. Подставляем: \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}. Теперь умножаем на 5\sqrt{2} : 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{4} = 5 \times \frac{2}{4} = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}. Ответ: 2,5 .

Задача 81

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle 3\sqrt{3}-6\sqrt{3}\sin^{2}\frac{13\pi}{12}

Решение:

Вынесем общий множитель: 3\sqrt{3} \left( 1 - 2\sin^{2}\frac{13\pi}{12} \right). Используем основное тригонометрическое тождество: 1 - 2\sin^{2} x = \cos 2x. Подставляем: 1 - 2\sin^{2} \frac{13\pi}{12} = \cos \frac{26\pi}{12}. Упростим аргумент: \frac{26\pi}{12} = \frac{13\pi}{6}. Так как: \cos \frac{13\pi}{6} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6}. Значение косинуса: \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Подставляем: 3\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}. Ответ: 4,5 .

Задача 82

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle \frac{8\sin64^\circ\cdot\cos64^\circ}{\sin128^\circ}

Решение:

Используем формулу удвоенного угла: 2\sin x \cos x = \sin 2x. Тогда числитель преобразуется: 8\sin64^\circ\cos64^\circ = 4\sin128^\circ. Подставляем в исходное выражение: \frac{4\sin128^\circ}{\sin128^\circ}. Сокращаем \sin128^\circ : 4. Ответ: 4.

Задача 83

Текст:

Найдите значение выражения \displaystyle \frac{14^{6.4} \cdot 7^{-5.4}}{2^{4.4}}

Решение:

Используем свойство логарифмов: \frac{\log_{a}b}{\log_{a}c} = \log_{c}b. Тогда первое слагаемое можно переписать: \frac{\log_{9}28}{\log_{9}7} = \log_{7}28. Значит, выражение принимает вид: \log_{7}28 + \log_{7}\frac{7}{4}. Используем свойство суммы логарифмов: \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(b \cdot c). Получаем: \log_{7} \left( 28 \cdot \frac{7}{4} \right). Выполняем умножение: 28 \cdot \frac{7}{4} = 7^2. Следовательно: \log_{7} 7^2 = 2. Ответ: 2.

Задача 84

Текст:

Найдите значение выражения: \log_{2}96 - \log_2{3}

Решение:

Используем свойство разности логарифмов: \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a} \left(\frac{b}{c} \right). Тогда: \log_{2}96 - \log_{2}3 = \log_{2} \left(\displaystyle \frac{96}{3} \right). Выполним деление: \log_{2}32. Так как: 32 = 2^5, то: \log_{2}32 = 5. Ответ: 5.

Задача 85

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle 5\sqrt{2}\cos^{2}\frac{7\pi}{8}-5\sqrt{2}\sin^{2}\frac{7\pi}{8}

Решение:

Используем формулу разности косинусов: \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x. Тогда выражение перепишем так: 5\sqrt{2} \cos 2 \cdot \frac{7\pi}{8}. Умножаем аргумент на 2: 2 \cdot \frac{7\pi}{8} = \frac{14\pi}{8} = \frac{7\pi}{4}. Значение косинуса: \cos \frac{7\pi}{4} = \cos \left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}. Подставляем: 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot \frac{2}{2} = 5. Ответ: 5 .

Задача 86

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle 3\sin\frac{13\pi}{12}\cdot\cos\frac{13\pi}{12}

Решение:

Используем формулу удвоенного угла: \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x. Тогда: 3\sin\frac{13\pi}{12} \cos\frac{13\pi}{12} = 3 \cdot \frac{1}{2} \sin\frac{26\pi}{12}. Упрощаем аргумент: \frac{26\pi}{12} = \frac{13\pi}{6}. Так как \frac{13\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6} , то \sin\frac{13\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6}. Значение синуса: \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}. Следовательно: \sin\frac{13\pi}{6} = -\frac{1}{2}. Подставляем: 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{3}{4}. Ответ: -0,75 .

Задача 87

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle 8\log_{5}\sqrt[4]{5} .

Решение:

Представим корень в виде степени: \sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}} . Используем свойство логарифмов: \log_{a} b^c = c \log_{a} b , тогда: \log_{5} \sqrt[4]{5} = \log_{5} 5^{\frac{1}{4}} . По свойству логарифма: \log_{a} a^x = x , получаем: \log_{5} 5^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} . Теперь вычисляем: 8 \cdot \frac{1}{4} = 2 . Ответ: 2 .

Задача 88

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle \frac{3\sin68^{\circ}}{\cos34^{\circ}\cdot\cos56^{\circ}} .

Решение:

Используем соотношение: \cos x = \sin(90^{\circ} - x) , тогда: \cos34^{\circ} = \sin56^{\circ} и \cos56^{\circ} = \sin34^{\circ} . Подставим в выражение: \frac{3\sin68^{\circ}}{\sin56^{\circ} \cdot \sin34^{\circ}}. Используем тождество: \sin A = 2\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} , где A = 68^{\circ} : \sin68^{\circ} = 2\sin34^{\circ} \cos34^{\circ}. Подставим: \frac{3 \cdot 2 \sin34^{\circ} \cos34^{\circ}}{\sin56^{\circ} \cdot \sin34^{\circ}}. Сократим \sin34^{\circ} : \frac{6 \cos34^{\circ}}{\sin56^{\circ}}. Так как \sin56^{\circ} = \cos34^{\circ} , то выражение упрощается: \frac{6 \cos34^{\circ}}{\cos34^{\circ}} = 6. Ответ: 6 .

Задача 89

Текст:

Найдите значение выражения: \log_{2}56-\log_{2}7 .

Решение:

Используем свойство логарифмов: \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c} Применяем его к заданному выражению: \log_{2}56 - \log_{2}7 = \log_{2} \frac{56}{7}. Вычисляем дробь: \frac{56}{7} = 8. Следовательно: \log_{2}8. Так как 8 = 2^3 , то: \log_{2}8 = 3. Ответ: 3 .

Задача 90

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle \frac{(3\sqrt{8})^2}{6} .

Решение:

Сначала вычислим квадрат выражения в числителе: (3\sqrt{8})^2 = 9 \cdot 8 = 72. Теперь подставим в исходное выражение: \frac{72}{6}. Выполним деление: 72 \div 6 = 12. Ответ: 12 .

Задача 91

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle \sqrt{2}\sin\frac{7\pi}{8}\cdot\cos\frac{7\pi}{8} .

Решение:

Используем формулу удвоенного угла: \sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A. Подставим A = \frac{7\pi}{8} : \sin\frac{7\pi}{8} \cos\frac{7\pi}{8} = \frac{1}{2} \sin\frac{14\pi}{8}. Упростим аргумент синуса: \frac{14\pi}{8} = \frac{7\pi}{4}. Значение \sin\frac{7\pi}{4} равно -\frac{\sqrt{2}}{2} , поэтому: \sin\frac{7\pi}{8} \cos\frac{7\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{4}. Теперь умножим на \sqrt{2} : \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}. Ответ: -0,5 .

Задача 92

Текст:

Найдите значение выражения: (64^9)^3:(16^5)^8

Решение:

Сначала упростим показатели степеней. Представим числа через степень двойки: 64 = 2^6, \quad 16 = 2^4. Подставим: (64^9)^3 = ((2^6)^9)^3 = 2^{6 \cdot 9 \cdot 3} = 2^{162}. (16^5)^8 = ((2^4)^5)^8 = 2^{4 \cdot 5 \cdot 8} = 2^{160}. Теперь вычислим частное: \frac{2^{162}}{2^{160}} = 2^{162-160} = 2^2 = 4. Ответ: 4.

Задача 93

Текст:

Найдите значение выражения: (4^{15})^5 : 4^{73}

Решение:

Сначала упростим показатель степени в первой части выражения: (4^{15})^5 = 4^{15 \cdot 5} = 4^{75}. Теперь вычислим частное: \frac{4^{75}}{4^{73}} = 4^{75-73} = 4^2 = 16. Ответ: 16.

Задача 94

Текст:

Найдите значение выражения 3\cos2\alpha , если \cos\alpha=-0,8 .

Решение:

Используем формулу двойного угла: \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1. Подставляем \cos\alpha = -0,8 : \cos^2\alpha = (-0,8)^2 = 0,64. \cos 2\alpha = 2 \cdot 0,64 - 1 = 1,28 - 1 = 0,28. Теперь найдем 3\cos2\alpha : 3 \cdot 0,28 = 0,84. Ответ: 0,84.

Задача 95

Текст:

Найдите значение выражения 5^{0,06} \cdot 25^{0,97} .

Решение:

Представим число 25 как 5^2 : 25^{0,97} = (5^2)^{0,97} = 5^{1,94}. Тогда выражение примет вид: 5^{0,06} \cdot 5^{1,94}. Используем свойство степеней a^m \cdot a^n = a^{m+n} : 5^{0,06 + 1,94} = 5^2 = 25. Ответ: 25.

Задача 96

Текст:

Найдите \tan\alpha , если \sin\alpha=\frac{\sqrt{26}}{26} и \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) .

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. Подставляем значение \sin\alpha : \left(\frac{\sqrt{26}}{26}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1. \frac{26}{676} + \cos^2\alpha = 1. \cos^2\alpha = 1 - \frac{26}{676} = \frac{676}{676} - \frac{26}{676} = \frac{650}{676}. \cos\alpha = \sqrt{\frac{650}{676}} = \frac{\sqrt{650}}{26}. Так как \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) , то \cos\alpha положительно. Теперь найдём \tan\alpha : \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{\sqrt{650}}{26}} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{650}}. Упростим дробь: \tan\alpha = \sqrt{\frac{26}{650}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}. Ответ: 0,2 .

Задача 97

Текст:

Найдите \sin\alpha , если \cos\alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5} и \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) .

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. Подставляем значение \cos\alpha : \sin^2\alpha + \left( -\frac{\sqrt{21}}{5} \right)^2 = 1. \sin^2\alpha + \frac{21}{25} = 1. \sin^2\alpha = 1 - \frac{21}{25} = \frac{25}{25} - \frac{21}{25} = \frac{4}{25}. \sin\alpha = \pm \frac{2}{5}. Так как \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) , то \sin\alpha будет положительным, так как в этом интервале синус положителен. Ответ: \sin\alpha = 0,4 .

Задача 98

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle \frac{\sqrt[3]{36} \cdot \sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}.

Решение:

Для упрощения этого выражения можно воспользоваться свойствами корней и преобразовать степени: \sqrt[3]{36} = 36^{\frac{1}{3}}, \quad \sqrt[5]{36} = 36^{\frac{1}{5}}, \quad \sqrt[30]{36} = 36^{\frac{1}{30}}. Таким образом, выражение превращается в: \frac{36^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{1}{5}}}{36^{\frac{1}{30}}}. Теперь применим правило для деления степеней с одинаковым основанием: a^m / a^n = a^{m - n} : 36^{\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{30}}. Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю: \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{30} = \frac{10}{30} + \frac{6}{30} - \frac{1}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}. Таким образом, выражение упрощается до: 36^{\frac{1}{2}}. Теперь вычислим: 36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6. Ответ: 6 .

Задача 99

Текст:

Найдите значение выражения: \displaystyle \sqrt{2}-2\sqrt{2}\sin^2\frac{15\pi}{8}.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}. Подставляем x = \frac{15\pi}{8} : \sin^2\frac{15\pi}{8} = \frac{1 - \cos\frac{30\pi}{8}}{2} = \frac{1 - \cos\frac{15\pi}{4}}{2}. Так как \cos\frac{15\pi}{4} = \cos\left(2\pi + \frac{7\pi}{4}\right) = \cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, то получаем: \sin^2\frac{15\pi}{8} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}. Теперь вычисляем выражение: \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{4}. Сокращаем: \sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{4} = \sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2} - 2\cdot2}{4}. Упрощаем: \sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2} - 4}{4} = \sqrt{2} - \left(\sqrt{2} - 1\right). \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 = 1. Ответ: 1 .

Задача 100

Текст:

Найдите значение выражения: (\sqrt{96}-\sqrt{24})\cdot\sqrt{6}.

Решение:

Разложим подкоренные выражения на множители: \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}, \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}. Подставляем в выражение: (4\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) \cdot \sqrt{6}. Вычитаем: 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}. Учитываем, что \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6 : 2 \cdot 6 = 12. Ответ: 12 .

Задача 101

Текст:

Найдите значение выражения \displaystyle \frac{\sqrt[3]{121}\cdot\sqrt[4]{121}}{\sqrt[12]{121}} .

Решение:

Представим 121 как степень числа 11: 121 = 11^2. Тогда выражение примет вид: \frac{\sqrt[3]{11^2} \cdot \sqrt[4]{11^2}}{\sqrt[12]{11^2}}. Используем свойство корней: \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}. Преобразуем каждый корень: \sqrt[3]{11^2} = 11^{\frac{2}{3}}, \quad \sqrt[4]{11^2} = 11^{\frac{2}{4}} = 11^{\frac{1}{2}}, \quad \sqrt[12]{11^2} = 11^{\frac{2}{12}} = 11^{\frac{1}{6}}. Подставляем: \frac{11^{\frac{2}{3}} \cdot 11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{6}}}. Используем свойство степеней a^m \cdot a^n = a^{m+n} : 11^{\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{2}\right)} = 11^{\left(\frac{4}{6} + \frac{3}{6}\right)} = 11^{\frac{7}{6}}. Делим степени: 11^{\frac{7}{6} - \frac{1}{6}} = 11^{\frac{6}{6}} = 11^1 = 11. Ответ: 11 .

Задача 102

Текст:

Найдите значение выражения \displaystyle4^{\frac{1}{5}} \cdot 16^{\frac{9}{10}} .

Решение:

Представим числа в виде степеней двойки: 4 = 2^2, \quad 16 = 2^4. Подставим это в выражение: (2^2)^{\frac{1}{5}} \cdot (2^4)^{\frac{9}{10}}. Используем свойство степеней (a^m)^n = a^{m \cdot n} : 2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{36}{10}}. Упрощаем вторую степень: 2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{18}{5}}. По свойству сложения показателей степеней: 2^{\frac{2}{5} + \frac{18}{5}} = 2^{\frac{20}{5}} = 2^4. Находим значение: 2^4 = 16. Ответ: 16 .

Задача 103

Текст:

Найдите значение выражения \displaystyle 18\sqrt{2} \tan\frac{\pi}{4} \sin\frac{\pi}{4} .

Решение:

Значения тригонометрических функций: \tan\frac{\pi}{4} = 1, \quad \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}. Подставим их в выражение: 18\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. Упростим: 18\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18 \cdot \frac{2}{2} = 18. Ответ: 18 .

Задача 104

Текст:

На рисунке изображен график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9 . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

Решение:

Производная функции отрицательна тогда, когда функция убывает. Или можно по-другому. Производная функции отрицательна тогда, когда касательная к ней составляет тупой угол с положительным направлением оси абсцисс [image:0] Как видно из рисунка, таких точек всего 4.

Задача 105

Текст:

Найдите значение выражения \displaystyle \frac{\sqrt[3]{400}\cdot\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{80}} .

Решение:

Используем свойство корней: \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}. Перепишем выражение: \frac{\sqrt[3]{400 \cdot 25}}{\sqrt[3]{80}}. Выполним умножение под корнем: 400 \cdot 25 = 10000. Теперь: \frac{\sqrt[3]{10000}}{\sqrt[3]{80}} = \sqrt[3]{\frac{10000}{80}}. Выполним деление: \frac{10000}{80} = 125. Следовательно: \sqrt[3]{125} = 5. Ответ: 5 .

Задача 106

Текст:

Найдите значение выражения \displaystyle \frac{3^{9,2}}{9^{2,6}} .

Решение:

Представим основание 9 как 3^2 : 9^{2,6} = (3^2)^{2,6}. Используем свойство степеней (a^m)^n = a^{m \cdot n} : (3^2)^{2,6} = 3^{5,2}. Теперь подставим в исходное выражение: \frac{3^{9,2}}{3^{5,2}}. Используем свойство степеней \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} : 3^{9,2 - 5,2} = 3^4. Вычисляем: 3^4 = 81. Ответ: 81 .

Задача 107

Текст:

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0 . Найдите значение производной функции функции f(x) в точке x_0 .

Решение:

Значение производной функции в точке это значение тангенса угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс. [image:0] В данном случае, функция убывающая, значит значение тангенса будет отрицательным. \tan\alpha=-\frac{2}{5}=-0,4 Ответ: -0,4

Задача 108

Текст:

Даны векторы \overrightarrow{a}(-13;4) и \overrightarrow{b}(-6;1) . Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} .

Решение:

Скалярное произведение векторов \overrightarrow{a}(x_1, y_1) и \overrightarrow{b}(x_2, y_2) определяется как: \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2. Подставим значения: (-13) \cdot (-6) + 4 \cdot 1. Вычислим: 78 + 4 = 82.

Задача 109

Текст:

Даны векторы \overrightarrow{a}(1;1) и \overrightarrow{b}(0;7) . Найдите длину вектора 8\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} .

Решение:

Сначала найдем координаты вектора 8\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} : 8\overrightarrow{a} = (8 \cdot 1, 8 \cdot 1) = (8,8) 8\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (8+0, 8+7) = (8,15) Длина вектора \overrightarrow{c}(8,15) находится по формуле: |\overrightarrow{c}| = \sqrt{x^2 + y^2} Подставим значения: |\overrightarrow{c}| = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17. Ответ: 17 .

Задача 110

Текст:

Даны векторы \overrightarrow{a}(5;3) и \overrightarrow{b}(4;-6) . Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} .

Решение:

Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{a}(a_1, a_2) и \overrightarrow{b}(b_1, b_2) вычисляется по формуле: \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 Подставляем значения: \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5 \cdot 4 + 3 \cdot (-6) = 20 - 18 = 2. Ответ: 2 .

Задача 111

Текст:

На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , координатыми которых являются целые числа. Найдите длину вектора \overrightarrow{a+4b} .

Решение:

На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , координаты которых являются целыми числами. Найдите длину вектора \overrightarrow{a + 4b} . Найдем координаты векторов, разложив их на координатные векторы (см. рис.): [image:0] \overrightarrow{a} (3;4), \quad \overrightarrow{b} (2;-1). Найдем координаты вектора \overrightarrow{a + 4b} : \overrightarrow{a + 4b} = (3;4) + 4 \cdot (2;-1). Выполняем умножение и сложение: (3 + 4 \cdot 2; 4 + 4 \cdot (-1)) = (3 + 8; 4 - 4) = (11;0). Длина вектора \overrightarrow{a + 4b} находится по формуле: |\overrightarrow{a + 4b}| = \sqrt{x^2 + y^2}. Подставляем координаты: |\overrightarrow{a + 4b}| = \sqrt{11^2 + 0^2} = \sqrt{121} = 11.

Задача 112

Текст:

\upsilon = 2 моля воздуха при давлении p_1 = 1.5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p_2 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = \alpha \upsilon T\log _2 \frac{p_2}{p_1} , где \alpha=5.75 \frac{\textrm{Дж}}{\textrm{моль} \cdot \textrm{К}} — постоянная, T = 300 К — температура воздуха. Найдите, какое давление p_2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.

Решение:

Формула для работы изотермического сжатия: A = \alpha \upsilon T \log_2 \frac{p_2}{p_1} Подставляем значения: 6900 = 5.75 \cdot 2 \cdot 300 \log_2 \frac{p_2}{1.5} Вычисляем коэффициент: 6900 = 3450 \log_2 \frac{p_2}{1.5} Находим логарифм: \log_2 \frac{p_2}{1.5} = \frac{6900}{3450} = 2 Решаем уравнение: \frac{p_2}{1.5} = 2^2 = 4 Следовательно, p_2 = 4 \cdot 1.5 = 6 \text{ атм}

Задача 113

Текст:

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = T_0 + bt + at^2 , где t ~--- время в минутах, T_0 = 1400 ~К, a = - 10 ~К/мин {}^2 , b = 200 ~К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1760 ~К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Решение:

Дана зависимость температуры нагревательного элемента от времени: T(t) = T_0 + bt + at^2, где T_0 = 1400 К, a = -10 К/мин ^2 , b = 200 К/мин. Прибор нужно отключить, если температура превышает 1760 К. Найдем время t , при котором T(t) = 1760 К. Подставляем значения в уравнение: 1400 + 200t - 10t^2 = 1760. Переносим все члены в одну сторону: -10t^2 + 200t + 1400 - 1760 = 0, -10t^2 + 200t - 360 = 0. Делим уравнение на -10 для упрощения: t^2 - 20t + 36 = 0. Решаем квадратное уравнение: t = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2}, t = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 144}}{2}, t = \frac{20 \pm \sqrt{256}}{2}, t = \frac{20 \pm 16}{2}. Получаем два корня: t_1 = \frac{20 + 16}{2} = 18, t_2 = \frac{20 - 16}{2} = 2. Поскольку температура сначала возрастает, а затем убывает (коэффициент a = -10 К/мин ^2 отрицательный), наибольшее время, через которое прибор нужно отключить, равно 2 минутам.

Задача 114

Текст:

Водолазный колокол, содержащий \upsilon = 2 моля воздуха при давлении p_1 = 1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p_2 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = \alpha \upsilon T \log_2 \frac{p_2}{p_1} , где \alpha = 5,75 \, \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} — постоянная, T = 300 \, \text{К} — температура воздуха. Найдите, какое давление p_2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 \, \text{Дж} .

Решение:

A = \alpha \upsilon T \log_2 \frac{p_2}{p_1}. Подставим известные значения A = 6900 \, \text{Дж} , \alpha = 5,75 \, \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} , \upsilon = 2 \, \text{моль} , T = 300 \, \text{К} , p_1 = 1,5 \, \text{атм} : 6900 = 5,75 \cdot 2 \cdot 300 \cdot \log_2 \frac{p_2}{1,5}. Упростим выражение: 6900 = 3450 \cdot \log_2 \frac{p_2}{1,5}. Разделим обе части уравнения на 3450 : \log_2 \frac{p_2}{1,5} = \frac{6900}{3450}. Вычислим правую часть: \log_2 \frac{p_2}{1,5} = 2. Перейдём от логарифма к показательной форме: \frac{p_2}{1,5} = 2^2. Вычислим степень: \frac{p_2}{1,5} = 4. Найдём p_2 , умножив обе части на 1,5 : p_2 = 4 \cdot 1,5 = 6.

Задача 115

Текст:

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч ^2 . Скорость v вычисляется по формуле v = \sqrt{2la} , где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в км/ч ^2 .

Решение:

v = \sqrt{2la}. Подставим известные значения v = 100 км/ч и l = 1 км: 100 = \sqrt{2 \cdot 1 \cdot a}. Упростим выражение под корнем: 100 = \sqrt{2a}. Возведём обе части уравнения в квадрат: 100^2 = 2a. Вычислим 100^2 : 10000 = 2a. Разделим обе части уравнения на 2 : a = \frac{10000}{2} = 5000.

Задача 116

Текст:

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой f_0 = 749 МГц. Скорость погружения батискафа v вычисляется по формуле v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0} , где c = 1500 м/с — скорость звука в воде, f_0 — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна v = 2 м/с.

Решение:

v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}. Подставим известные значения v = 2 м/с, c = 1500 м/с, f_0 = 749 МГц: 2 = 1500 \cdot \frac{f - 749}{f + 749}. Разделим обе части уравнения на 1500 : \frac{2}{1500} = \frac{f - 749}{f + 749}. Упростим левую часть: \frac{1}{750} = \frac{f - 749}{f + 749}. Умножим обе части уравнения на f + 749 , чтобы избавиться от знаменателя: \frac{1}{750} \cdot (f + 749) = f - 749. Раскроем скобки в левой части: \frac{f}{750} + \frac{749}{750} = f - 749. Перенесём все члены с f в одну сторону, а остальные — в другую: \frac{f}{750} - f = -749 - \frac{749}{750}. Вынесем f за скобки слева и приведём правую часть к общему знаменателю: f \left( \frac{1}{750} - 1 \right) = -\frac{749 \cdot 750 + 749}{750}. Упростим коэффициент при f слева: \frac{1}{750} - 1 = \frac{1 - 750}{750} = \frac{-749}{750}. Теперь уравнение принимает вид: f \cdot \frac{-749}{750} = -\frac{749 \cdot 750 + 749}{750}. Сократим \frac{-749}{750} в обеих частях уравнения: f = \frac{749 \cdot 750 + 749}{749}. Вынесем 749 за скобки в числителе: f = \frac{749 \cdot (750 + 1)}{749}. Сократим 749 : f = 750 + 1 = 751.

Задача 117

Текст:

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} , где m_0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m_0 = 40 мг. Период его полураспада составляет T = 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Решение:

m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}. Подставим известные значения m = 5 мг, m_0 = 40 мг, T = 10 мин: 5 = 40 \cdot 2^{-\frac{t}{10}}. Разделим обе части уравнения на 40 : \frac{5}{40} = 2^{-\frac{t}{10}}. Упростим левую часть: \frac{1}{8} = 2^{-\frac{t}{10}}. Заметим, что \frac{1}{8} = 2^{-3} . Таким образом: 2^{-3} = 2^{-\frac{t}{10}}. Приравняем показатели степеней: -3 = -\frac{t}{10}. Умножим обе части уравнения на -10 : t = 30.

Задача 118

Текст:

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v_0 = 57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 12 км/ч ^2 . Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S = v_0 t + \frac{at^2}{2} . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ дайте в минутах.

Решение:

S = v_0 t + \frac{at^2}{2}. Подставим известные значения S = 30 км, v_0 = 57 км/ч, a = 12 км/ч ^2 : 30 = 57t + \frac{12t^2}{2}. Упростим выражение: 30 = 57t + 6t^2. Перенесём все члены в одну сторону: 6t^2 + 57t - 30 = 0. Разделим уравнение на 3 для упрощения: 2t^2 + 19t - 10 = 0. Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней: t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 2 , b = 19 , c = -10 . Подставим значения: t = \frac{-19 \pm \sqrt{19^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2}. Вычислим дискриминант: 19^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 361 + 80 = 441. Таким образом: t = \frac{-19 \pm \sqrt{441}}{4}. Найдём корни: t = \frac{-19 + 21}{4} \quad \text{или} \quad t = \frac{-19 - 21}{4}. Вычислим каждый корень: t_1 = \frac{-19 + 21}{4} = \frac{2}{4} = 0.5, t_2 = \frac{-19 - 21}{4} = \frac{-40}{4} = -10. Отрицательный корень t_2 = -10 не имеет физического смысла, поэтому выбираем t_1 = 0.5 часа. Переведём время в минуты: t = 0.5 \cdot 60 = 30 \, \text{минут}.

Задача 119

Текст:

К источнику с ЭДС \varepsilon = 55 В и внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой U = \frac{\varepsilon R}{R + r} . При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ дайте в омах.

Решение:

U = \frac{\varepsilon R}{R + r}. Подставим известные значения U = 50 В, \varepsilon = 55 В, r = 0,5 Ом: 50 = \frac{55R}{R + 0,5}. Умножим обе части уравнения на R + 0,5 , чтобы избавиться от знаменателя: 50(R + 0,5) = 55R. Раскроем скобки в левой части: 50R + 25 = 55R. Перенесём все члены с R в одну сторону: 55R - 50R = 25. Упростим: 5R = 25. Найдём R : R = \frac{25}{5} = 5.

Задача 120

Текст:

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2} , где t — время в минутах, \omega = 20^\circ/\text{мин} — начальная угловая скорость вращения катушки, а \beta = 4^\circ/\text{мин}^2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки \varphi достигнет 1200^\circ . Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.

Решение:

\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}. Подставим известные значения \varphi = 1200^\circ , \omega = 20^\circ/\text{мин} , \beta = 4^\circ/\text{мин}^2 : 1200 = 20t + \frac{4t^2}{2}. Упростим выражение: 1200 = 20t + 2t^2. Перенесём все члены в одну сторону: 2t^2 + 20t - 1200 = 0. Разделим уравнение на 2 для упрощения: t^2 + 10t - 600 = 0. Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней: t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1 , b = 10 , c = -600 . Подставим значения: t = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600)}}{2 \cdot 1}. Вычислим дискриминант: 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 100 + 2400 = 2500. Таким образом: t = \frac{-10 \pm \sqrt{2500}}{2}. Найдём корни: t = \frac{-10 + 50}{2} \quad \text{или} \quad t = \frac{-10 - 50}{2}. Вычислим каждый корень: t_1 = \frac{-10 + 50}{2} = \frac{40}{2} = 20, t_2 = \frac{-10 - 50}{2} = \frac{-60}{2} = -30. Отрицательный корень t_2 = -30 не имеет физического смысла, поэтому выбираем t_1 = 20 минут.

Задача 121

Текст:

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,6 + 8t - 5t^2 , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Решение:

h(t) = 1,6 + 8t - 5t^2. Мяч находится на высоте не менее 3 метров, если выполняется неравенство: 1,6 + 8t - 5t^2 \geq 3. Перенесём 3 в левую часть: 1,6 + 8t - 5t^2 - 3 \geq 0. Упростим выражение: -5t^2 + 8t - 1,4 \geq 0. Умножим неравенство на -1 , чтобы коэффициент при t^2 стал положительным (при этом знак неравенства меняется): 5t^2 - 8t + 1,4 \leq 0. Решим квадратное уравнение 5t^2 - 8t + 1,4 = 0 для нахождения корней. Используем формулу корней: t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 5 , b = -8 , c = 1,4 . Подставим значения: t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1,4}}{2 \cdot 5}. Вычислим дискриминант: (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1,4 = 64 - 28 = 36. Таким образом: t = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{10}. Найдём корни: t_1 = \frac{8 + 6}{10} = \frac{14}{10} = 1,4, t_2 = \frac{8 - 6}{10} = \frac{2}{10} = 0,2. Корни уравнения: t_1 = 1,4 и t_2 = 0,2 . Квадратичная функция 5t^2 - 8t + 1,4 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Неравенство 5t^2 - 8t + 1,4 \leq 0 выполняется между корнями t_2 = 0,2 и t_1 = 1,4 . Следовательно, мяч находится на высоте не менее 3 метров в течение времени: t_1 - t_2 = 1,4 - 0,2 = 1,2 \, \text{секунды}.

Задача 122

Текст:

Два тела, массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2\alpha друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле Q = mv^2 \sin^2 \alpha , где m — масса в килограммах, v — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом 2\alpha (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее 50 джоулей.

Решение:

Q = mv^2 \sin^2 \alpha. Подставим известные значения Q = 50 Дж, m = 2 кг, v = 10 м/с: 50 = 2 \cdot 10^2 \cdot \sin^2 \alpha. Упростим выражение: 50 = 2 \cdot 100 \cdot \sin^2 \alpha, 50 = 200 \cdot \sin^2 \alpha. Разделим обе части уравнения на 200 : \sin^2 \alpha = \frac{50}{200} = 0,25. Извлечём квадратный корень из обеих частей: \sin \alpha = \sqrt{0,25} = 0,5. Найдём угол \alpha , используя таблицу значений синуса: \alpha = 30^\circ. Так как угол между телами равен 2\alpha , то: 2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ.

Задача 123

Текст:

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f_0 = 150 Гц и определяется следующим выражением: f = f_0 \frac{c + u}{c - v} \ (\text{Гц}), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 10 м/с и v = 15 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 160 Гц?

Решение:

Подставим известные значения f = 160 Гц, f_0 = 150 Гц, u = 10 м/с, v = 15 м/с в формулу: 160 = 150 \cdot \frac{c + 10}{c - 15}. Разделим обе части уравнения на 150 : \frac{160}{150} = \frac{c + 10}{c - 15}. Упростим левую часть: \frac{16}{15} = \frac{c + 10}{c - 15}. Умножим обе части уравнения на c - 15 , чтобы избавиться от знаменателя: \frac{16}{15} (c - 15) = c + 10. Раскроем скобки в левой части: \frac{16}{15}c - \frac{16}{15} \cdot 15 = c + 10. Упростим: \frac{16}{15}c - 16 = c + 10. Перенесём все члены с c в одну сторону, а остальные — в другую: \frac{16}{15}c - c = 10 + 16. Вынесем c за скобки слева: c \left( \frac{16}{15} - 1 \right) = 26. Упростим коэффициент при c : \frac{16}{15} - 1 = \frac{16}{15} - \frac{15}{15} = \frac{1}{15}. Теперь уравнение принимает вид: c \cdot \frac{1}{15} = 26. Умножим обе части уравнения на 15 : c = 26 \cdot 15 = 390.

Задача 124

Текст:

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R_1 = 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R_2 этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R_1 и R_2 их общее сопротивление задаётся формулой R_{\text{общ}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}, а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ дайте в омах.

Решение:

Подставим известные значения R_{\text{общ}} = 9 Ом и R_1 = 90 Ом в формулу для общего сопротивления: 9 = \frac{90 \cdot R_2}{90 + R_2}. Умножим обе части уравнения на 90 + R_2 , чтобы избавиться от знаменателя: 9(90 + R_2) = 90 \cdot R_2. Раскроем скобки в левой части: 810 + 9R_2 = 90R_2. Перенесём все члены с R_2 в одну сторону: 90R_2 - 9R_2 = 810. Упростим: 81R_2 = 810. Найдём R_2 : R_2 = \frac{810}{81} = 10.

Задача 125

Текст:

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt + \frac{g}{2}k^2t^2 , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H_0 = 20 м — начальная высота столба воды, k = \frac{1}{50} — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g = 10 м/с ^2 — ускорение свободного падения. Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Решение:

Объём воды в баке пропорционален высоте столба воды. Если в баке остаётся четверть первоначального объёма воды, то высота столба воды также составляет четверть начальной высоты: H(t) = \frac{H_0}{4} . Подставим H_0 = 20 : H(t) = \frac{20}{4} = 5 \, \text{м} . Теперь подставим известные значения H_0 = 20 , g = 10 , k = \frac{1}{50} в формулу для H(t) : H(t) = 20 - \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} \cdot \frac{1}{50} \cdot t + \frac{10}{2} \cdot \left(\frac{1}{50}\right)^2 \cdot t^2 . Упростим выражение: 1. Вычислим \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} : \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} = \sqrt{400} = 20 . 2. Подставим это значение: H(t) = 20 - 20 \cdot \frac{1}{50} \cdot t + \frac{10}{2} \cdot \frac{1}{2500} \cdot t^2 . 3. Упростим коэффициенты: H(t) = 20 - \frac{20}{50}t + \frac{5}{2500}t^2 . 4. Сократим дроби: H(t) = 20 - 0.4t + 0.002t^2 . Теперь решим уравнение H(t) = 5 : 5 = 20 - 0.4t + 0.002t^2 . Перенесём все члены в одну сторону: 0.002t^2 - 0.4t + 15 = 0 . Умножим уравнение на 1000 , чтобы избавиться от десятичных дробей: 2t^2 - 400t + 15000 = 0 . Разделим уравнение на 2 для упрощения: t^2 - 200t + 7500 = 0 . Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней: t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} , где a = 1 , b = -200 , c = 7500 . Подставим значения: t = \frac{-(-200) \pm \sqrt{(-200)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7500}}{2 \cdot 1} . Вычислим дискриминант: (-200)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7500 = 40000 - 30000 = 10000 . Найдём корни: t = \frac{200 \pm \sqrt{10000}}{2} . Вычислим: t = \frac{200 \pm 100}{2} . Найдём два корня: t_1 = \frac{200 + 100}{2} = \frac{300}{2} = 150 , t_2 = \frac{200 - 100}{2} = \frac{100}{2} = 50 . Физический смысл имеет меньший корень t_2 = 50 , так как вода не может оставаться в баке после полного опустошения.

Задача 126

Текст:

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d_1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d_2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение: \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

Подставим известное значение f = 30 : \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{30}. Выразим \frac{1}{d_1} через d_2 : \frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d_2}. Приведём правую часть к общему знаменателю: \frac{1}{d_1} = \frac{d_2 - 30}{30d_2}. Теперь выразим d_1 : d_1 = \frac{30d_2}{d_2 - 30}. Чтобы найти наименьшее возможное значение d_1 , нужно минимизировать выражение \frac{30d_2}{d_2 - 30} . Для этого d_2 должно быть максимально возможным, так как увеличение d_2 уменьшает знаменатель d_2 - 30 , что увеличивает значение дроби. Максимальное значение d_2 равно 180 см. Подставим d_2 = 180 в формулу для d_1 : d_1 = \frac{30 \cdot 180}{180 - 30}. Упростим выражение: d_1 = \frac{5400}{150} = 36.

Задача 127

Текст:

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому P = \sigma S T^4 , где P — мощность излучения звезды (в Ваттах), \sigma = 5,7 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T — температура (в Кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \frac{1}{256} \cdot 10^{11} \, \text{м}^2 , а мощность её излучения равна 46,17 \cdot 10^{12} \, \text{Вт} . Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

Решение:

Подставим известные значения P = 46,17 \cdot 10^{12} \, \text{Вт} , \sigma = 5,7 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} , S = \frac{1}{256} \cdot 10^{11} \, \text{м}^2 в формулу: P = \sigma S T^4. Выразим T^4 : T^4 = \frac{P}{\sigma S}. Подставим значения: T^4 = \frac{46,17 \cdot 10^{12}}{5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{256} \cdot 10^{11}}. Упростим знаменатель: \sigma S = 5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{256} \cdot 10^{11} = \frac{5,7 \cdot 10^{3}}{256}. Теперь вычислим T^4 : T^4 = \frac{46,17 \cdot 10^{12}}{\frac{5,7 \cdot 10^{3}}{256}} = \frac{46,17 \cdot 10^{12} \cdot 256}{5,7 \cdot 10^{3}}. Упростим числитель и знаменатель: T^4 = \frac{46,17 \cdot 256 \cdot 10^{9}}{5,7}. Вычислим коэффициент: \frac{46,17 \cdot 256}{5,7} = \frac{11811,52}{5,7} \approx 2072. Таким образом: T^4 \approx 2072 \cdot 10^{9} = 2,072 \cdot 10^{12}. Извлечём корень четвёртой степени: T = \sqrt[4]{2,072 \cdot 10^{12}}. Разделим на два этапа: 1. Извлечём корень четвёртой степени из 2,072 : \sqrt[4]{2,072} \approx 1,2. 2. Извлечём корень четвёртой степени из 10^{12} : \sqrt[4]{10^{12}} = 10^{3}. Таким образом: T \approx 1,2 \cdot 10^{3} = 1200.

Задача 128

Текст:

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f_0 = 440 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону: f(v) = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}, где c = 315 м/с — скорость звука. Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы.

Решение:

Частота второго гудка f(v) должна быть больше частоты первого гудка f_0 как минимум на 10 Гц: f(v) - f_0 \geq 10. Подставим выражение для f(v) : \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}} - f_0 \geq 10. Вынесем f_0 за скобки: f_0 \left( \frac{1}{1 - \frac{v}{c}} - 1 \right) \geq 10. Упростим выражение в скобках: \frac{1}{1 - \frac{v}{c}} - 1 = \frac{1 - (1 - \frac{v}{c})}{1 - \frac{v}{c}} = \frac{\frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}. Таким образом, неравенство принимает вид: f_0 \cdot \frac{\frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}} \geq 10. Подставим f_0 = 440 и c = 315 : 440 \cdot \frac{\frac{v}{315}}{1 - \frac{v}{315}} \geq 10. Упростим числитель: 440 \cdot \frac{v}{315} \cdot \frac{1}{1 - \frac{v}{315}} \geq 10. Разделим обе части неравенства на 440 : \frac{\frac{v}{315}}{1 - \frac{v}{315}} \geq \frac{10}{440}. Упростим правую часть: \frac{\frac{v}{315}}{1 - \frac{v}{315}} \geq \frac{1}{44}. Умножим обе части неравенства на 1 - \frac{v}{315} (при условии v < c ): \frac{v}{315} \geq \frac{1}{44} \cdot \left( 1 - \frac{v}{315} \right). Раскроем скобки в правой части: \frac{v}{315} \geq \frac{1}{44} - \frac{1}{44} \cdot \frac{v}{315}. Перенесём все члены с v в левую часть: \frac{v}{315} + \frac{1}{44} \cdot \frac{v}{315} \geq \frac{1}{44}. Вынесем \frac{v}{315} за скобки: \frac{v}{315} \left( 1 + \frac{1}{44} \right) \geq \frac{1}{44}. Упростим коэффициент при \frac{v}{315} : 1 + \frac{1}{44} = \frac{44}{44} + \frac{1}{44} = \frac{45}{44}. Таким образом: \frac{v}{315} \cdot \frac{45}{44} \geq \frac{1}{44}. Умножим обе части на \frac{44}{45} : \frac{v}{315} \geq \frac{1}{44} \cdot \frac{44}{45} = \frac{1}{45}. Умножим обе части на 315 : v \geq 315 \cdot \frac{1}{45} = 7.

Задача 129

Текст:

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pV^k = 10^5 Па \cdot м ^5 , где p — давление в газе в паскалях, V — объём газа в кубических метрах, k = \frac{5}{3} . Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p , равном 3,2 \cdot 10^6 Па.

Решение:

Подставим известные значения p = 3,2 \cdot 10^6 Па и k = \frac{5}{3} в уравнение: pV^k = 10^5. Выразим V^k : V^k = \frac{10^5}{p}. Подставим p = 3,2 \cdot 10^6 : V^{\frac{5}{3}} = \frac{10^5}{3,2 \cdot 10^6}. Упростим правую часть: V^{\frac{5}{3}} = \frac{10^5}{3,2 \cdot 10^6} = \frac{1}{3,2 \cdot 10} = \frac{1}{32}. Теперь найдём V , используя свойство степеней: V = \left( V^{\frac{5}{3}} \right)^{\frac{3}{5}} = \left( \frac{1}{32} \right)^{\frac{3}{5}}. Разложим вычисления: 1. Представим 32 как степень двойки: 32 = 2^5 . 2. Тогда: \frac{1}{32} = 2^{-5}, и \left( \frac{1}{32} \right)^{\frac{3}{5}} = \left( 2^{-5} \right)^{\frac{3}{5}} = 2^{-5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^{-3}. Вычислим 2^{-3} : 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}. Таким образом: V = \frac{1}{8} = 0,125.

Задача 130

Текст:

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 285 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

Решение:

Обозначим: - производительность первой трубы (в литрах в минуту) как x , - производительность второй трубы как x + 4 . Составим таблицу для анализа задачи: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Труба} & \text{Производительность (л/мин)} & \text{Время (мин)} & \text{Объём (л)} \\ \hline \text{Первая труба} & x & \frac{285}{x} & 285 \\ \hline \text{Вторая труба} & x + 4 & \frac{285}{x + 4} & 285 \\ \hline \end{array} Из условия задачи известно, что первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая. Составим уравнение: \frac{285}{x} - \frac{285}{x + 4} = 4. Решение уравнения: 1. Приведём левую часть к общему знаменателю: \frac{285(x + 4) - 285x}{x(x + 4)} = 4. 2. Раскроем скобки в числителе: \frac{285x + 1140 - 285x}{x(x + 4)} = 4. 3. Упростим числитель: \frac{1140}{x(x + 4)} = 4. 4. Умножим обе части уравнения на x(x + 4) , чтобы избавиться от знаменателя: 1140 = 4x(x + 4). 5. Раскроем скобки в правой части: 1140 = 4x^2 + 16x. 6. Перенесём все члены в одну сторону: 4x^2 + 16x - 1140 = 0. 7. Разделим уравнение на 4 для упрощения: x^2 + 4x - 285 = 0. Решение квадратного уравнения: Квадратное уравнение имеет вид x^2 + 4x - 285 = 0 . Решим его с помощью формулы корней: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1 , b = 4 , c = -285 . 1. Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-285) = 16 + 1140 = 1156. 2. Найдём корни: x = \frac{-4 \pm \sqrt{1156}}{2 \cdot 1}. 3. Извлечём корень из 1156: \sqrt{1156} = 34. 4. Подставим значения: x = \frac{-4 \pm 34}{2}. 5. Найдём два корня: x_1 = \frac{-4 + 34}{2} = \frac{30}{2} = 15, x_2 = \frac{-4 - 34}{2} = \frac{-38}{2} = -19. Производительность трубы не может быть отрицательной, поэтому выбираем x = 15 . Ответ: \boxed{15} .

Задача 131

Текст:

Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Таня — за 36 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?

Решение:

Решим задачу с помощью таблицы. \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Участник} & \text{Производительность (грядка/мин)} & \text{Время (мин)} & \text{Объём (грядка)} \\ \hline \text{Аня} & A & t_A & 1 \\ \hline \text{Таня} & \frac{1}{36} & 36 & 1 \\ \hline \text{Аня + Таня} & A + \frac{1}{36} & 24 & 1 \\ \hline \end{array} Из таблицы видно: - Производительность Тани: T = \frac{1}{36} . - Совместная производительность Ани и Тани: A + T = \frac{1}{24} . Подставим значение T = \frac{1}{36} в выражение для совместной производительности: A + \frac{1}{36} = \frac{1}{24}. Вычтем \frac{1}{36} из обеих частей: A = \frac{1}{24} - \frac{1}{36}. Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 24 и 36 равно 72: \frac{1}{24} = \frac{3}{72}, \quad \frac{1}{36} = \frac{2}{72}. Тогда: A = \frac{3}{72} - \frac{2}{72} = \frac{1}{72}. Производительность Ани A = \frac{1}{72} , то есть она пропалывает одну грядку за 72 минуты. Ответ: \boxed{72} .

Задача 132

Текст:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 609 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 51 час. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Обозначим: - скорость течения реки как x (в км/ч), - скорость теплохода по течению: 25 + x (км/ч), - скорость теплохода против течения: 25 - x (км/ч). Составим таблицу для анализа: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Направление} & \text{Скорость (км/ч)} & \text{Расстояние (км)} & \text{Время (ч)} \\ \hline \text{По течению} & 25 + x & 609 & \frac{609}{25 + x} \\ \hline \text{Против течения} & 25 - x & 609 & \frac{609}{25 - x} \\ \hline \end{array} Из условия известно, что общее время движения теплохода (с учётом стоянки) составляет 51 час. Составим уравнение: \frac{609}{25 + x} + \frac{609}{25 - x} + 1 = 51. 1. Перенесём 1 час стоянки в правую часть: \frac{609}{25 + x} + \frac{609}{25 - x} = 50. 2. Приведём левую часть к общему знаменателю: \frac{609(25 - x) + 609(25 + x)}{(25 + x)(25 - x)} = 50. 3. Раскроем скобки в числителе: \frac{609 \cdot 25 - 609x + 609 \cdot 25 + 609x}{(25 + x)(25 - x)} = 50. 4. Упростим числитель: \frac{609 \cdot 50}{(25 + x)(25 - x)} = 50. 5. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов: (25 + x)(25 - x) = 625 - x^2. Теперь уравнение принимает вид: \frac{609 \cdot 50}{625 - x^2} = 50. 6. Умножим обе части уравнения на 625 - x^2 , чтобы избавиться от знаменателя: 609 \cdot 50 = 50 \cdot (625 - x^2). 7. Разделим обе части уравнения на 50: 609 = 625 - x^2. 8. Перенесём x^2 в левую часть: x^2 = 625 - 609. 9. Вычислим: x^2 = 16. 10. Извлечём корень: x = \sqrt{16} = 4. Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому x = 4 . Ответ: \boxed{4} .

Задача 133

Текст:

Два велосипедиста одновременно отправились в 160-километровый пробег. Первый ехал со скоростью 6 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Обозначим: - скорость второго велосипедиста как x (в км/ч), - скорость первого велосипедиста: x + 6 (км/ч). Составим таблицу для анализа: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Велосипедист} & \text{Скорость (км/ч)} & \text{Расстояние (км)} & \text{Время (ч)} \\ \hline \text{Первый} & x + 6 & 160 & \frac{160}{x + 6} \\ \hline \text{Второй} & x & 160 & \frac{160}{x} \\ \hline \end{array} Из условия известно, что первый велосипедист прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Составим уравнение: \frac{160}{x} - \frac{160}{x + 6} = 6. Решение уравнения: 1. Приведём левую часть к общему знаменателю: \frac{160(x + 6) - 160x}{x(x + 6)} = 6. 2. Раскроем скобки в числителе: \frac{160x + 960 - 160x}{x(x + 6)} = 6. 3. Упростим числитель: \frac{960}{x(x + 6)} = 6. 4. Умножим обе части уравнения на x(x + 6) , чтобы избавиться от знаменателя: 960 = 6x(x + 6). 5. Раскроем скобки в правой части: 960 = 6x^2 + 36x. 6. Перенесём все члены в одну сторону: 6x^2 + 36x - 960 = 0. 7. Разделим уравнение на 6 для упрощения: x^2 + 6x - 160 = 0. Решение квадратного уравнения: Квадратное уравнение имеет вид x^2 + 6x - 160 = 0 . Решим его с помощью формулы корней: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1 , b = 6 , c = -160 . 1. Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 36 + 640 = 676. 2. Найдём корни: x = \frac{-6 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1}. 3. Извлечём корень из 676: \sqrt{676} = 26. 4. Подставим значения: x = \frac{-6 \pm 26}{2}. 5. Найдём два корня: x_1 = \frac{-6 + 26}{2} = \frac{20}{2} = 10, x_2 = \frac{-6 - 26}{2} = \frac{-32}{2} = -16. Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем x = 10 . Ответ: \boxed{10} .

Задача 134

Текст:

Имеется два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй — 25 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение:

Обозначим: - концентрацию кислоты в первом сосуде как x \% , - концентрацию кислоты во втором сосуде как y \% . Составим таблицу для анализа: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сосуд} & \text{Масса раствора (кг)} & \text{Концентрация (%)} & \text{Масса кислоты (кг)} \\ \hline \text{Первый} & 40 & x & \frac{40x}{100} = 0.4x \\ \hline \text{Второй} & 25 & y & \frac{25y}{100} = 0.25y \\ \hline \end{array} Условие 1: Смешивание всех растворов Если смешать все растворы из обоих сосудов, то получится раствор массой 40 + 25 = 65 кг с концентрацией 30%. Масса кислоты в полученном растворе равна: 0.3 \cdot 65 = 19.5 \, \text{кг}. Суммарная масса кислоты из обоих сосудов: 0.4x + 0.25y = 19.5. Условие 2: Смешивание равных масс растворов Если смешать равные массы растворов (например, по 1 кг), то концентрация полученного раствора будет 36%. Это означает, что средняя концентрация кислоты в смеси равна: \frac{x + y}{2} = 36. Упростим: x + y = 72. Решение системы уравнений: Получаем систему уравнений: 1. 0.4x + 0.25y = 19.5 , 2. x + y = 72 . Шаг 1: Выразим y через x из второго уравнения: y = 72 - x. Шаг 2: Подставим y = 72 - x в первое уравнение: 0.4x + 0.25(72 - x) = 19.5. Раскроем скобки: 0.4x + 0.25 \cdot 72 - 0.25x = 19.5. Упростим: 0.4x - 0.25x + 18 = 19.5. 0.15x + 18 = 19.5. 0.15x = 1.5. x = \frac{1.5}{0.15} = 10. Концентрация кислоты в первом сосуде: x = 10 \% . Ответ: \boxed{10} .

Задача 135

Текст:

Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Обозначим: - скорость течения реки как x (в км/ч), - скорость лодки против течения: 9 - x (км/ч), - скорость лодки по течению: 9 + x (км/ч). Составим таблицу для анализа: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Направление} & \text{Скорость (км/ч)} & \text{Расстояние (км)} & \text{Время (ч)} \\ \hline \text{Против течения} & 9 - x & 72 & \frac{72}{9 - x} \\ \hline \text{По течению} & 9 + x & 72 & \frac{72}{9 + x} \\ \hline \end{array} Из условия известно, что на путь против течения лодка затратила на 6 часов больше, чем на путь по течению. Составим уравнение: \frac{72}{9 - x} - \frac{72}{9 + x} = 6. Решение уравнения: 1. Приведём левую часть к общему знаменателю: \frac{72(9 + x) - 72(9 - x)}{(9 - x)(9 + x)} = 6. 2. Раскроем скобки в числителе: \frac{72 \cdot 9 + 72x - 72 \cdot 9 + 72x}{(9 - x)(9 + x)} = 6. 3. Упростим числитель: \frac{144x}{(9 - x)(9 + x)} = 6. 4. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов: (9 - x)(9 + x) = 81 - x^2. Теперь уравнение принимает вид: \frac{144x}{81 - x^2} = 6. 5. Умножим обе части уравнения на 81 - x^2 , чтобы избавиться от знаменателя: 144x = 6(81 - x^2). 6. Раскроем скобки в правой части: 144x = 486 - 6x^2. 7. Перенесём все члены в одну сторону: 6x^2 + 144x - 486 = 0. 8. Разделим уравнение на 6 для упрощения: x^2 + 24x - 81 = 0. Решение квадратного уравнения: Квадратное уравнение имеет вид x^2 + 24x - 81 = 0 . Решим его с помощью формулы корней: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1 , b = 24 , c = -81 . 1. Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 576 + 324 = 900. 2. Найдём корни: x = \frac{-24 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1}. 3. Извлечём корень из 900: \sqrt{900} = 30. 4. Подставим значения: x = \frac{-24 \pm 30}{2}. 5. Найдём два корня: x_1 = \frac{-24 + 30}{2} = \frac{6}{2} = 3, x_2 = \frac{-24 - 30}{2} = \frac{-54}{2} = -27. Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому выбираем x = 3 . Ответ: \boxed{3} .

Задача 136

Текст:

Заказ на изготовление 209 деталей первый рабочий выполняет на 8 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 8 деталей больше?

Решение:

Обозначим: - производительность второго рабочего (деталей в час) как x , - производительность первого рабочего: x + 8 . Составим таблицу для анализа: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Рабочий} & \text{Производительность (дет./ч)} & \text{Количество деталей} & \text{Время (ч)} \\ \hline \text{Первый} & x + 8 & 209 & \frac{209}{x + 8} \\ \hline \text{Второй} & x & 209 & \frac{209}{x} \\ \hline \end{array} Из условия известно, что первый рабочий выполняет заказ на 8 часов быстрее второго. Составим уравнение: \frac{209}{x} - \frac{209}{x + 8} = 8. Решение уравнения: 1. Приведём левую часть к общему знаменателю: \frac{209(x + 8) - 209x}{x(x + 8)} = 8. 2. Раскроем скобки в числителе: \frac{209x + 1672 - 209x}{x(x + 8)} = 8. 3. Упростим числитель: \frac{1672}{x(x + 8)} = 8. 4. Умножим обе части уравнения на x(x + 8) , чтобы избавиться от знаменателя: 1672 = 8x(x + 8). 5. Раскроем скобки в правой части: 1672 = 8x^2 + 64x. 6. Перенесём все члены в одну сторону: 8x^2 + 64x - 1672 = 0. 7. Разделим уравнение на 8 для упрощения: x^2 + 8x - 209 = 0. Решение квадратного уравнения: Квадратное уравнение имеет вид x^2 + 8x - 209 = 0 . Решим его с помощью формулы корней: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1 , b = 8 , c = -209 . 1. Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209) = 64 + 836 = 900. 2. Найдём корни: x = \frac{-8 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1}. 3. Извлечём корень из 900: \sqrt{900} = 30. 4. Подставим значения: x = \frac{-8 \pm 30}{2}. 5. Найдём два корня: x_1 = \frac{-8 + 30}{2} = \frac{22}{2} = 11, x_2 = \frac{-8 - 30}{2} = \frac{-38}{2} = -19. Производительность не может быть отрицательной, поэтому выбираем x = 11 . Ответ: \boxed{11} .

Задача 137

Текст:

Первый час автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие два часа — со скоростью 75 км/ч, а затем два часа — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Обозначим: - S — общий путь (км), - t — общее время движения (ч), - v_{\text{ср}} = \frac{S}{t} — средняя скорость (км/ч). Составим таблицу для анализа: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Участок} & \text{Скорость (км/ч)} & \text{Время (ч)} & \text{Путь (км)} \\ \hline \text{Первый} & 80 & 1 & 80 \cdot 1 = 80 \\ \hline \text{Второй} & 75 & 2 & 75 \cdot 2 = 150 \\ \hline \text{Третий} & 50 & 2 & 50 \cdot 2 = 100 \\ \hline \end{array} Вычисление общего пути и времени: 1. Общий путь: S = 80 + 150 + 100 = 330 \, \text{км}. 2. Общее время: t = 1 + 2 + 2 = 5 \, \text{ч}. Вычисление средней скорости: Средняя скорость вычисляется по формуле: v_{\text{ср}} = \frac{S}{t}. Подставим значения: v_{\text{ср}} = \frac{330}{5} = 66 \, \text{км/ч}. Ответ: \boxed{66} .

Задача 138

Текст:

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метров. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение:

Обозначения: - скорость пассажирского поезда: v_1 = 90 \, \text{км/ч} , - скорость товарного поезда: v_2 = 30 \, \text{км/ч} , - длина товарного поезда: L_2 = 600 \, \text{м} , - время обгона: t = 1 \, \text{мин} = \frac{1}{60} \, \text{ч} , - длина пассажирского поезда: L_1 (в метрах). Относительная скорость: Поскольку поезда движутся в одном направлении, их относительная скорость равна разности скоростей: v_{\text{отн}} = v_1 - v_2 = 90 - 30 = 60 \, \text{км/ч}. Переведём её в метры в секунду: v_{\text{отн}} = 60 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{60 \cdot 1000}{3600} = \frac{60}{3.6} = \frac{600}{36} = \frac{50}{3} \, \text{м/с}. Условие обгона: За время t = 1 \, \text{мин} = 60 \, \text{с} пассажирский поезд проходит расстояние, равное сумме длин обоих поездов: S = L_1 + L_2. С другой стороны, это расстояние можно выразить через относительную скорость и время: S = v_{\text{отн}} \cdot t. Подставим известные значения: L_1 + L_2 = \frac{50}{3} \cdot 60. Вычислим правую часть: L_1 + L_2 = 50 \cdot 20 = 1000 \, \text{м}. Вычисление длины пассажирского поезда: Из уравнения L_1 + L_2 = 1000 найдём L_1 : L_1 = 1000 - L_2 = 1000 - 600 = 400 \, \text{м}. Ответ: \boxed{400} .

Задача 139

Текст:

Первый насос наполняет бак за 11 минут, второй — за 15 минут, а третий — за 1 час 50 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?

Решение:

Обозначим: - время наполнения бака первым насосом: t_1 = 11 \, \text{мин} , - время наполнения бака вторым насосом: t_2 = 15 \, \text{мин} , - время наполнения бака третьим насосом: t_3 = 1 \, \text{ч} \, 50 \, \text{мин} = 110 \, \text{мин} , - время наполнения бака при совместной работе всех насосов: t (в минутах). Составим таблицу для анализа: \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Насос} & \text{Производительность (баков/мин)} & \text{Время (мин)} \\ \hline \text{Первый} & \frac{1}{11} & 11 \\ \hline \text{Второй} & \frac{1}{15} & 15 \\ \hline \text{Третий} & \frac{1}{110} & 110 \\ \hline \text{Вместе} & \frac{1}{11} + \frac{1}{15} + \frac{1}{110} & t \\ \hline \end{array} Условие совместной работы: Совместная производительность равна сумме производительностей всех трёх насосов: N_{\text{совм}} = \frac{1}{11} + \frac{1}{15} + \frac{1}{110}. Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 11, 15, 110 равно 330 : \frac{1}{11} = \frac{30}{330}, \quad \frac{1}{15} = \frac{22}{330}, \quad \frac{1}{110} = \frac{3}{330}. Сложим дроби: N_{\text{совм}} = \frac{30}{330} + \frac{22}{330} + \frac{3}{330} = \frac{30 + 22 + 3}{330} = \frac{55}{330} = \frac{1}{6}. Таким образом, три насоса вместе наполняют \frac{1}{6} бака в минуту. Вычисление времени наполнения бака: Время наполнения бака t вычисляется как обратная величина совместной производительности: t = \frac{1}{N_{\text{совм}}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 \, \text{мин}. Ответ: \boxed{6} .

Задача 140

Текст:

Катер в 10:00 вышел из пункта A в пункт B , расположенный в 15 км от A . Пробыв в пункте B 4 часа, катер отправился назад и вернулся в пункт A в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Обозначения: - собственная скорость катера: x (км/ч), - скорость течения реки: 2 км/ч, - скорость катера по течению: x + 2 (км/ч), - скорость катера против течения: x - 2 (км/ч), - расстояние между A и B : S = 15 км, - общее время движения (без учёта стоянки): t_{\text{движ}} = 18:00 - 10:00 - 4 \, \text{ч} = 4 \, \text{ч} . Составим таблицу для анализа: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Направление} & \text{Скорость (км/ч)} & \text{Расстояние (км)} & \text{Время (ч)} \\ \hline \text{По течению} & x + 2 & 15 & \frac{15}{x + 2} \\ \hline \text{Против течения} & x - 2 & 15 & \frac{15}{x - 2} \\ \hline \end{array} Условие задачи: Общее время движения катера равно 4 часа: \frac{15}{x + 2} + \frac{15}{x - 2} = 4. Решение уравнения: 1. Приведём левую часть к общему знаменателю: \frac{15(x - 2) + 15(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 4. 2. Раскроем скобки в числителе: \frac{15x - 30 + 15x + 30}{(x + 2)(x - 2)} = 4. 3. Упростим числитель: \frac{30x}{(x + 2)(x - 2)} = 4. 4. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов: (x + 2)(x - 2) = x^2 - 4. Теперь уравнение принимает вид: \frac{30x}{x^2 - 4} = 4. 5. Умножим обе части уравнения на x^2 - 4 , чтобы избавиться от знаменателя: 30x = 4(x^2 - 4). 6. Раскроем скобки в правой части: 30x = 4x^2 - 16. 7. Перенесём все члены в одну сторону: 4x^2 - 30x - 16 = 0. 8. Разделим уравнение на 2 для упрощения: 2x^2 - 15x - 8 = 0. Решение квадратного уравнения: Квадратное уравнение имеет вид 2x^2 - 15x - 8 = 0 . Решим его с помощью формулы корней: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 2 , b = -15 , c = -8 . 1. Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289. 2. Найдём корни: x = \frac{-(-15) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2}. 3. Извлечём корень из 289: \sqrt{289} = 17. 4. Подставим значения: x = \frac{15 \pm 17}{4}. 5. Найдём два корня: x_1 = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8, x_2 = \frac{15 - 17}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5. Скорость катера не может быть отрицательной, поэтому выбираем x = 8 . Ответ: \boxed{8} .

Задача 141

Текст:

Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B . На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B . Найдите скорость баржи на пути из A в B . Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Обозначения: - скорость баржи из A в B : x (км/ч), - время движения из A в B : t_1 = \frac{390}{x} (ч), - скорость баржи из B в A : x + 3 (км/ч), - время движения из B в A без учёта остановки: t_2 = \frac{390}{x + 3} (ч), - общее время на обратный путь (включая остановку): t_2 + 9 . Составим таблицу для анализа: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Направление} & \text{Скорость (км/ч)} & \text{Расстояние (км)} & \text{Время движения (ч)} \\ \hline \text{A → B} & x & 390 & \frac{390}{x} \\ \hline \text{B → A} & x + 3 & 390 & \frac{390}{x + 3} \\ \hline \end{array} Условие задачи: Время на путь из A в B равно времени на путь из B в A , включая остановку: \frac{390}{x} = \frac{390}{x + 3} + 9. Решение уравнения: 1. Перенесём \frac{390}{x + 3} в левую часть: \frac{390}{x} - \frac{390}{x + 3} = 9. 2. Приведём левую часть к общему знаменателю: \frac{390(x + 3) - 390x}{x(x + 3)} = 9. 3. Раскроем скобки в числителе: \frac{390x + 1170 - 390x}{x(x + 3)} = 9. 4. Упростим числитель: \frac{1170}{x(x + 3)} = 9. 5. Умножим обе части уравнения на x(x + 3) , чтобы избавиться от знаменателя: 1170 = 9x(x + 3). 6. Раскроем скобки в правой части: 1170 = 9x^2 + 27x. 7. Перенесём все члены в одну сторону: 9x^2 + 27x - 1170 = 0. 8. Разделим уравнение на 9 для упрощения: x^2 + 3x - 130 = 0. Решение квадратного уравнения: Квадратное уравнение имеет вид x^2 + 3x - 130 = 0 . Решим его с помощью формулы корней: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1 , b = 3 , c = -130 . 1. Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529. 2. Найдём корни: x = \frac{-3 \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 1}. 3. Извлечём корень из 529: \sqrt{529} = 23. 4. Подставим значения: x = \frac{-3 \pm 23}{2}. 5. Найдём два корня: x_1 = \frac{-3 + 23}{2} = \frac{20}{2} = 10, x_2 = \frac{-3 - 23}{2} = \frac{-26}{2} = -13. Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем x = 10 . Ответ: \boxed{10} .

Задача 142

Текст:

На рисунке изображен график функции вида f(x) = \log_a x . Найдите значение f(8) .

Решение:

Из графика видно, что f(8) = -3 . Но для тренировки, давайте сделаем вид, что на графике этого не видно. Анализ условия: Функция задана в виде f(x) = \log_a x , где a — основание логарифма. График функции убывает, что означает 0 < a < 1 . На графике отмечены точки: (2; -1) , (4; -2) , (8; -3) . [image:0] Эти точки позволяют определить основание a и найти значение f(8) . Решение: 1. Используем точку (2; -1) : Подставим x = 2 и f(x) = -1 в формулу f(x) = \log_a x : \log_a 2 = -1. По определению логарифма: a^{-1} = 2 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}. 2. Нахождение f(8) : f(8) = \log_{\frac{1}{2}} 8 = -3.

Задача 143

Текст:

На рисунке изображены графики функций видов f(x) = \frac{k}{x} и g(x) = ax + b , пересекающиеся в точках A и B . Найдите абсциссу точки B .

Решение:

Анализ условия: График гиперболы задан уравнением f(x) = \frac{k}{x} . Он проходит через точки: (-4; -2) , (-2; -4) , (2; 4) , (4; 2) . [image:0] Подставим точку (-4; -2) в уравнение f(x) = \frac{k}{x} : -2 = \frac{k}{-4} \quad \Rightarrow \quad k = 8. Таким образом, уравнение гиперболы: f(x) = \frac{8}{x}. Функция прямой: График прямой задан уравнением g(x) = ax + b . Он проходит через точки: (-4; -2) и (0; -1) . Найдём коэффициенты a и b : - Из точки (0; -1) следует, что b = -1 . - Подставим точку (-4; -2) в уравнение g(x) = ax - 1 : -2 = a(-4) - 1 \quad \Rightarrow \quad -2 = -4a - 1 \quad \Rightarrow \quad -1 = -4a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{4}. Таким образом, уравнение прямой: g(x) = \frac{1}{4}x - 1. Точки пересечения: Графики пересекаются в точках A и B . Точка A имеет координаты (-4; -2) . Найдём координаты точки B . Решение: Для нахождения точек пересечения решим уравнение: f(x) = g(x) \quad \Rightarrow \quad \frac{8}{x} = \frac{1}{4}x - 1. 1. Умножим обе части на x (при x \neq 0 ): 8 = \frac{1}{4}x^2 - x. 2. Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дроби: 32 = x^2 - 4x. 3. Перенесём все члены в одну сторону: x^2 - 4x - 32 = 0. 4. Решим квадратное уравнение: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1 , b = -4 , c = -32 . Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-32) = 16 + 128 = 144. Найдём корни: x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{4 \pm 12}{2}. Корни: x_1 = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8. 5. Абсциссы точек пересечения: x = -4 соответствует точке A(-4; -2) , x = 8 соответствует точке B .

Задача 144

Текст:

На рисунке изображен график функции вида f(x) = ax^2 + bx + c . Найдите значение f(-2) .

Решение:

Анализ условия: График функции — парабола, заданная уравнением f(x) = ax^2 + bx + c . Она проходит через точки: (0; 2) , (1; 0) , (2; 0) . [image:0] Решение: 1. Подставим точку (0; 2) : c = 2. Уравнение функции: f(x) = ax^2 + bx + 2 . 2. Подставим точку (1; 0) : a(1)^2 + b(1) + 2 = 0. a + b = -2. 3. Подставим точку (2; 0) : a(2)^2 + b(2) + 2 = 0. 4a + 2b = -2. Разделим на 2: 2a + b = -1. 4. Решим систему: a + b = -2, 2a + b = -1. Вычтем первое уравнение из второго: (2a + b) - (a + b) = -1 - (-2). a = 1. Подставим a = 1 в a + b = -2 : 1 + b = -2. b = -3. 5. Уравнение функции: f(x) = x^2 - 3x + 2. 6. Найдём f(-2) : f(-2) = (-2)^2 - 3(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12.

Задача 145

Текст:

На рисунке изображён график функции вида f(x) = a^x . Найдите значение f(5) .

Решение:

Анализ условия: График функции — показательная функция, заданная уравнением f(x) = a^x . Он проходит через точки: (1; 2) , (2; 4) . График монотонно возрастает. [image:0] Решение: 1. Подставим точку (1; 2) : f(1) = a^1 = 2. Отсюда: a = 2. 2. Запишем уравнение функции: f(x) = 2^x. 3. Найдём f(5) : f(5) = 2^5 = 32.

Задача 146

Текст:

На рисунке изображены графики функций видов f(x) = a\sqrt{x} и g(x) = kx , пересекающиеся в точках A и B . Найдите абсциссу точки B .

Решение:

Анализ условия: График функции f(x) = a\sqrt{x} проходит через точки: (1; 2) , (4; 4) . График функции g(x) = kx проходит через точки: (0; 0) , (5; 1) . [image:0] Точки пересечения графиков — это решения уравнения f(x) = g(x) . Решение: 1. Найдём коэффициент a для функции f(x) = a\sqrt{x} : Подставим точку (1; 2) : f(1) = a\sqrt{1} = 2. Отсюда: a = 2. Уравнение функции f(x) : f(x) = 2\sqrt{x}. 2. Найдём коэффициент k для функции g(x) = kx : Подставим точку (5; 1) : g(5) = k \cdot 5 = 1. Отсюда: k = \frac{1}{5}. Уравнение функции g(x) : g(x) = \frac{1}{5}x. 3. Найдём точки пересечения графиков, решив уравнение f(x) = g(x) : 2\sqrt{x} = \frac{1}{5}x. Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дроби: 10\sqrt{x} = x. Разделим обе части на \sqrt{x} (при x > 0 ): 10 = \sqrt{x}. Возведём обе части в квадрат: x = 100. 4. Проверим, что x = 100 является абсциссой точки B : Подставим x = 100 в обе функции: f(100) = 2\sqrt{100} = 2 \cdot 10 = 20, g(100) = \frac{1}{5} \cdot 100 = 20. Значения совпадают, значит, x = 100 — абсцисса точки B .

Задача 147

Текст:

Найдите точку минимума функции y = x^2 - 28x + 96\ln x + 31 .

Решение:

\text{Анализ условия:} Функция y = x^2 - 28x + 96\ln x + 31 определена при x > 0 , так как присутствует логарифм \ln x . Точка минимума функции — это значение x , при котором производная y' равна нулю, и при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+». Решим задачу методом интервалов. \text{Решение:} 1. Найдём производную функции: y' = \frac{d}{dx}\left(x^2 - 28x + 96\ln x + 31\right). y' = 2x - 28 + \frac{96}{x}. 2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: 2x - 28 + \frac{96}{x} = 0. Умножим уравнение на x (при x > 0 ): 2x^2 - 28x + 96 = 0. 3. Разделим уравнение на 2 для упрощения: x^2 - 14x + 48 = 0. 4. Решим квадратное уравнение: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1 , b = -14 , c = 48 . Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4. Найдём корни: x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 2}{2}. x_1 = \frac{14 - 2}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{14 + 2}{2} = 8. 5. Определим знаки производной на интервалах (0; 6) , (6; 8) , (8; +\infty) : Производная: y' = 2x - 28 + \frac{96}{x} . - На интервале (0; 6) : выберем x = 1 : y'(1) = 2 \cdot 1 - 28 + \frac{96}{1} = 2 - 28 + 96 = 70 > 0. - На интервале (6; 8) : выберем x = 7 : y'(7) = 2 \cdot 7 - 28 + \frac{96}{7} = 14 - 28 + \frac{96}{7} = -14 + \frac{96}{7} \approx -14 + 13.714 = -0.286 0. 6. Построим числовую прямую и отметим на ней нули производной x = 6 и x = 8 : \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (0; 6) & (6; 8) & (8; +\infty) \\ \hline \text{Знак } y' & + & - & + \\ \hline \end{array} На числовой прямой это выглядит так: \begin{array}{c} \text{Знаки производной: } \quad (+) \, \big|_{x=6} \, (-) \, \big|_{x=8} \, (+) \end{array} Точка x = 8 является точкой минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+». Ответ: \boxed{8} .

Задача 148

Текст:

Найдите наименьшее значение функции y = 10\cos x + 14x + 9 на отрезке [0; \frac{3\pi}{2}] .

Решение:

\text{Анализ условия:} Функция y = 10\cos x + 14x + 9 определена на всей числовой прямой. Чтобы найти её наименьшее значение на отрезке [0; \frac{3\pi}{2}] , нужно: 1. Найти критические точки функции, решив уравнение y' = 0 . 2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 3. Сравнить полученные значения и выбрать наименьшее. \text{Решение:} 1. Найдём производную функции: y' = \frac{d}{dx}\left(10\cos x + 14x + 9\right). y' = -10\sin x + 14. 2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: -10\sin x + 14 = 0. \sin x = \frac{14}{10} = 1.4. Однако \sin x \leq 1 для всех x , поэтому уравнение \sin x = 1.4 не имеет решений. Таким образом, критических точек на данном отрезке нет. 3. Вычислим значения функции на концах отрезка [0; \frac{3\pi}{2}] : - При x = 0 : y(0) = 10\cos 0 + 14 \cdot 0 + 9 = 10 \cdot 1 + 0 + 9 = 19. - При x = \frac{3\pi}{2} : y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 10\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 14\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 9. Значение \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 , поэтому: y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 10 \cdot 0 + 14 \cdot \frac{3\pi}{2} + 9 = 21\pi + 9. 4. Сравним значения функции: - y(0) = 19 , - y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 21\pi + 9 \approx 21 \cdot 3.14 + 9 = 65.94 + 9 = 74.94 . Наименьшее значение достигается при x = 0 . Ответ: \boxed{19} .

Задача 149

Текст:

Найдите наибольшее значение функции y = \ln(x+9)^5 - 5x на отрезке [-8.5; 0] .

Решение:

\text{Анализ условия:} Функция y = \ln(x+9)^5 - 5x определена при x + 9 > 0 , то есть x > -9 . На отрезке [-8.5; 0] функция определена, так как все значения x из этого отрезка удовлетворяют условию x > -9 . Чтобы найти наибольшее значение функции на данном отрезке, нужно: 1. Найти критические точки функции, решив уравнение y' = 0 . 2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 3. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее. \text{Решение:} 1. Упростим выражение для функции: y = \ln(x+9)^5 - 5x = 5\ln(x+9) - 5x. 2. Найдём производную функции: y' = \frac{d}{dx}\left(5\ln(x+9) - 5x\right). y' = \frac{5}{x+9} - 5. 3. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \frac{5}{x+9} - 5 = 0. \frac{5}{x+9} = 5. x + 9 = 1. x = -8. Критическая точка x = -8 принадлежит отрезку [-8.5; 0] . 4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - При x = -8.5 : y(-8.5) = 5\ln(-8.5 + 9) - 5 \cdot (-8.5). y(-8.5) = 5\ln 0.5 + 42.5. Значение \ln 0.5 = -\ln 2 \approx -0.693 , поэтому: y(-8.5) = 5 \cdot (-0.693) + 42.5 \approx -3.465 + 42.5 = 39.035. - При x = -8 : y(-8) = 5\ln(-8 + 9) - 5 \cdot (-8). y(-8) = 5\ln 1 + 40. y(-8) = 5 \cdot 0 + 40 = 40. - При x = 0 : y(0) = 5\ln(0 + 9) - 5 \cdot 0. y(0) = 5\ln 9. Значение \ln 9 = \ln(3^2) = 2\ln 3 \approx 2 \cdot 1.099 = 2.198 , поэтому: y(0) = 5 \cdot 2.198 \approx 10.99. 5. Сравним значения функции: - y(-8.5) \approx 39.035 , - y(-8) = 40 , - y(0) \approx 10.99 . Наибольшее значение достигается при x = -8 . Ответ: \boxed{40} .

Задача 150

Текст:

Найдите точку минимума функции y = x^3 - 14x^2 + 49x + 3 .

Решение:

\text{Анализ условия:} Функция y = x^3 - 14x^2 + 49x + 3 определена на всей числовой прямой. Точка минимума функции — это значение x , при котором производная y' равна нулю, и при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+». Решим задачу методом интервалов. \text{Решение:} 1. Найдём производную функции: y' = \frac{d}{dx}\left(x^3 - 14x^2 + 49x + 3\right). y' = 3x^2 - 28x + 49. 2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: 3x^2 - 28x + 49 = 0. 3. Решим квадратное уравнение: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 3 , b = -28 , c = 49 . Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 784 - 588 = 196. Найдём корни: x = \frac{-(-28) \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{28 \pm 14}{6}. x_1 = \frac{28 - 14}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}, \quad x_2 = \frac{28 + 14}{6} = \frac{42}{6} = 7. 4. Определим знаки производной на интервалах (-\infty; \frac{7}{3}) , (\frac{7}{3}; 7) , (7; +\infty) : Производная: y' = 3x^2 - 28x + 49 . - На интервале (-\infty; \frac{7}{3}) : выберем x = 0 : y'(0) = 3 \cdot 0^2 - 28 \cdot 0 + 49 = 49 > 0. - На интервале (\frac{7}{3}; 7) : выберем x = 5 : y'(5) = 3 \cdot 5^2 - 28 \cdot 5 + 49 = 3 \cdot 25 - 140 + 49 = 75 - 140 + 49 = -16 0. 5. Построим числовую прямую и отметим на ней нули производной x = \frac{7}{3} и x = 7 : \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty; \frac{7}{3}) & (\frac{7}{3}; 7) & (7; +\infty) \\ \hline \text{Знак } y' & + & - & + \\ \hline \end{array} На числовой прямой это выглядит так: \begin{array}{c} \text{Знаки производной: } \quad (+) \, \big|_{x=\frac{7}{3}} \, (-) \, \big|_{x=7} \, (+) \end{array} Точка x = 7 является точкой минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+». Ответ: \boxed{7} .

Задача 151

Текст:

Найдите точку минимума функции y = (7 - x)e^{7 - x} .

Решение:

\text{Анализ условия:} Функция y = (7 - x)e^{7 - x} определена на всей числовой прямой. Точка минимума функции — это значение x , при котором производная y' равна нулю, и при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+». Решим задачу методом интервалов. \text{Решение:} 1. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования произведения: y = (7 - x)e^{7 - x}. Обозначим u = 7 - x и v = e^{7 - x} . Тогда: y' = u' v + u v'. Здесь: u = 7 - x \quad \Rightarrow \quad u' = -1, v = e^{7 - x} \quad \Rightarrow \quad v' = -e^{7 - x}. Подставим в формулу для производной: y' = (-1) \cdot e^{7 - x} + (7 - x) \cdot (-e^{7 - x}). y' = -e^{7 - x} - (7 - x)e^{7 - x}. Вынесем общий множитель e^{7 - x} : y' = e^{7 - x} \left(-1 - (7 - x)\right). y' = e^{7 - x} (x - 8). 2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: y' = e^{7 - x} (x - 8) = 0. Поскольку e^{7 - x} > 0 для всех x , уравнение сводится к: x - 8 = 0. x = 8. 3. Определим знаки производной на интервалах (-\infty; 8) и (8; +\infty) : Производная: y' = e^{7 - x} (x - 8) . - На интервале (-\infty; 8) : выберем x = 0 : y'(0) = e^{7 - 0} (0 - 8) = e^{7} \cdot (-8) 0. 4. Построим числовую прямую и отметим на ней нуль производной x = 8 : \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty; 8) & (8; +\infty) \\ \hline \text{Знак } y' & - & + \\ \hline \end{array} На числовой прямой это выглядит так: \begin{array}{c} \text{Знаки производной: } \quad (-) \, \big|_{x=8} \, (+) \end{array} Точка x = 8 является точкой минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+». Ответ: \boxed{8} .

Задача 152

Текст:

Найдите наибольшее значение функции y = 11 + 6x - 4x\sqrt{x} на отрезке [0; 21] .

Решение:

\text{Анализ условия:} Функция y = 11 + 6x - 4x\sqrt{x} определена при x \geq 0 , так как присутствует квадратный корень \sqrt{x} . Чтобы найти её наибольшее значение на отрезке [0; 21] , нужно: 1. Найти критические точки функции, решив уравнение y' = 0 . 2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 3. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее. \text{Решение:} 1. Найдём производную функции: y = 11 + 6x - 4x\sqrt{x}. Перепишем x\sqrt{x} как x^{3/2} : y = 11 + 6x - 4x^{3/2}. Теперь найдём производную: y' = \frac{d}{dx}\left(11 + 6x - 4x^{3/2}\right). y' = 6 - 4 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2}. y' = 6 - 6\sqrt{x}. 2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: 6 - 6\sqrt{x} = 0. \sqrt{x} = 1. x = 1. Критическая точка x = 1 принадлежит отрезку [0; 21] . 3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - При x = 0 : y(0) = 11 + 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 \cdot \sqrt{0} = 11. - При x = 1 : y(1) = 11 + 6 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}. y(1) = 11 + 6 - 4 = 13. - При x = 21 : y(21) = 11 + 6 \cdot 21 - 4 \cdot 21 \cdot \sqrt{21}. Значение \sqrt{21} \approx 4.583 , поэтому: y(21) = 11 + 126 - 4 \cdot 21 \cdot 4.583 \approx 11 + 126 - 84 \cdot 4.583 \approx 137 - 384.972 \approx -247.972. 4. Сравним значения функции: - y(0) = 11 , - y(1) = 13 , - y(21) \approx -247.972 . Наибольшее значение достигается при x = 1 . Ответ: \boxed{13} .

Задача 153

Текст:

а) Решите уравнение 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3\pi; -\frac{3\pi}{2}] .

Решение:

Решение пункта а: 1. Используем формулу синуса суммы для \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) : \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3}. Подставим значения \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} и \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} : \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x. 2. Подставим это выражение в исходное уравнение: 2\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1. Раскроем скобки: \sin x + \sqrt{3}\cos x + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1. 3. Упростим уравнение, сократив \sqrt{3}\cos x в обеих частях: \sin x + \cos 2x = 1. 4. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x : \sin x + (1 - 2\sin^2 x) = 1. Упростим: \sin x - 2\sin^2 x = 0. 5. Вынесем \sin x за скобки: \sin x(1 - 2\sin x) = 0. 6. Получаем два случая: - \sin x = 0 , - 1 - 2\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = \frac{1}{2}. 7. Решим каждое уравнение: - Для \sin x = 0 : x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. - Для \sin x = \frac{1}{2} : x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. Ответ к пункту а: \boxed{x = \pi n \quad \text{или} \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}.}

Задача 154

Текст:

а) Решите уравнение \displaystyle \frac{\log^2_2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2\cos x + \sqrt{3}} = 0 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; \frac{3\pi}{2}] .

Решение:

Решение Пункт а 1. ОДЗ функции: Для существования выражения необходимо выполнение условий: \begin{cases} \sin x > 0 & (\text{логарифм определён только для положительных значений}) \\ 2\cos x + \sqrt{3} \neq 0 & (\text{знаменатель не должен быть равен нулю}) \end{cases} Из условия \sin x > 0 : x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n), \quad n \in \mathbb{Z}. Из условия 2\cos x + \sqrt{3} \neq 0 : \cos x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}. Это выполняется при: x \neq \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}. Таким образом, ОДЗ: x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n) \setminus \left\{\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \mid m \in \mathbb{Z}\right\}, \quad n \in \mathbb{Z}. 2. Решение уравнения: Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не обращается в ноль. Рассмотрим числитель: \log^2_2(\sin x) + \log_2(\sin x) = 0. Введём замену y = \log_2(\sin x) . Тогда: y^2 + y = 0. Разложим на множители: y(y + 1) = 0. Отсюда: y = 0 \quad \text{или} \quad y = -1. Вернёмся к переменной \sin x : - При y = 0 : \log_2(\sin x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 2^0 = 1. Решение \sin x = 1 : \left[ \begin{aligned} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. \end{aligned} \right. - При y = -1 : \log_2(\sin x) = -1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 2^{-1} = \frac{1}{2}. Решение \sin x = \frac{1}{2} : \left[ \begin{aligned} x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \\ x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. \end{aligned} \right. Учитывая ОДЗ x \neq \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi m , исключаем x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k . Объединяем решения: \left[ \begin{aligned} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, \\ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. \end{aligned} \right. Ответ к пункту а \boxed{ \left[ \begin{aligned} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, \\ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. \end{aligned} \right. } Пункт б Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; \frac{3\pi}{2}] : 1. Решение x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n : На отрезке [0; \frac{3\pi}{2}] : \left[ \begin{aligned} n = 0: & \quad x = \frac{\pi}{2}. \end{aligned} \right. 2. Решение x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k : На отрезке [0; \frac{3\pi}{2}] : \left[ \begin{aligned} k = 0: & \quad x = \frac{\pi}{6}. \end{aligned} \right. 3. Исключаем x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k по ОДЗ, так как \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} в этих точках. 4. Итоговые корни на отрезке [0; \frac{3\pi}{2}] : \left[ \begin{aligned} x = \frac{\pi}{6}, \\ x = \frac{\pi}{2}. \end{aligned} \right. Ответ к пункту б \boxed{\frac{\pi}{6}, \, \frac{\pi}{2}}

Задача 1

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 2

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 3

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 1

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 2

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 3

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 4

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 5

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 6

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 7

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 8

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 9

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 10

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 11

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 12

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 13

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 14

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 15

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 16

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 17

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 18

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 19

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 20

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 1

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 2

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 3

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 4

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 5

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 1

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 2

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 3

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 4

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 5

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 6

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 7

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 8

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 9

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 10

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 11

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 12

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 13

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 14

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 15

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 16

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 17

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 1

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 2

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 3

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 4

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 1

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 2

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 3

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 4

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 5

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 6

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 7

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 8

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 1

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 2

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 3

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 4

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 5

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 6

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 7

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 8

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 9

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 10

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 11

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 12

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 13

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 14

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 15

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 16

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 17

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 18

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 19

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 20

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 21

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 22

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 23

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 24

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 25

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 26

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 27

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 28

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 29

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 30

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 31

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 32

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 33

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 34

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 35

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 36

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 37

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 38

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 39

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 40

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 41

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 42

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 43

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 44

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 45

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 46

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 47

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 48

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 49

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 50

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 51

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 52

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 53

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 54

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 55

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 56

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 57

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 58

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 59

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 60

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 61

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 62

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 63

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 64

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 65

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 66

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 67

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 68

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 69

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 70

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 71

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 72

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 73

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 74

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 75

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 76

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 77

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 78

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 79

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 80

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 81

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 82

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 83

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 84

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 85

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 86

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 87

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 88

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 89

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 90

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 91

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 92

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 93

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 94

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 95

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 96

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 97

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 98

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 99

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 100

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 101

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 102

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 103

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 104

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 105

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 106

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 107

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 108

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 109

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 110

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 111

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 112

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 113

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 114

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 115

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 116

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 117

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 118

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 119

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 120

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 121

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 122

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 123

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 124

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 125

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 126

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 127

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 128

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 129

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 130

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 131

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 132

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 133

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 134

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 135

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 136

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 137

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 138

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 139

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 140

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 141

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 142

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 143

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 144

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 145

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 146

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 147

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 148

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 149

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 150

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 151

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 152

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 153

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 154

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 155

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 156

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 157

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 158

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 159

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 160

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 161

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 162

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 163

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 164

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 165

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 166

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 167

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 168

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 169

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 170

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 171

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 172

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 173

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 174

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 175

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 176

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 177

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 178

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 179

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 180

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 181

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 182

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 183

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 184

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 185

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 186

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 187

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 188

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 189

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 190

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 191

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 192

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 193

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 194

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 195

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 196

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 197

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 198

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 199

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 200

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 201

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 202

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 203

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 204

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 205

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 206

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 207

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 208

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 209

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 210

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 211

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 212

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 213

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 214

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 215

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 216

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 217

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 218

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 219

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 220

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 221

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 222

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 223

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 224

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 225

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 226

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 227

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 228

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 229

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 230

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 231

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 232

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 233

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 234

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 235

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 236

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 237

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 238

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 239

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 240

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 241

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 242

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 243

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 244

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 245

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 246

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 247

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 248

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 249

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 250

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 251

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 252

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 253

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 254

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 255

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 256

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 257

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 258

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 259

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 260

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 261

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 262

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 263

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 264

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 265

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 266

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 267

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 268

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 269

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 270

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 271

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 272

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 273

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 274

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 275

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 276

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 277

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 278

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 279

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 280

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 281

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 282

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 283

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 284

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 285

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 286

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 287

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 288

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 289

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 290

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 291

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 292

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 293

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 294

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 295

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 296

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 297

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 298

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 299

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 300

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 301

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 302

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 303

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 304

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 305

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 306

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 307

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 308

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 309

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 310

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 311

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 312

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 313

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 314

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 315

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 316

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 317

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 318

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 319

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 320

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 321

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 322

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 323

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 324

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 325

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 326

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 327

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 328

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 329

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 330

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 331

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 332

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 333

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 334

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 335

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 336

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 337

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 338

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 339

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 340

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 341

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 342

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 343

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 344

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 345

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 346

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 347

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 348

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 349

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 350

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 351

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 352

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 353

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 354

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 355

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 356

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 357

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 358

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 359

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 360

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 361

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 362

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 363

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 364

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 365

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 366

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 367

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 368

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 369

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 370

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 371

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 372

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 373

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 374

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 375

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 376

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 377

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 378

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 379

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 380

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 381

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 382

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 383

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 384

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 385

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 386

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 387

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 388

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 389

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 390

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 391

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 392

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 393

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 394

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 395

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 396

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 397

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 398

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 399

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 400

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 401

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 402

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 403

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 404

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 405

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 406

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 407

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 408

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 409

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 410

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 411

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 412

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 413

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 414

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 415

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 416

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 417

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 418

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 419

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 420

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 421

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 422

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 423

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 424

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 425

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 426

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 427

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 428

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 429

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 430

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 431

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 432

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 433

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 434

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 435

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 436

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 437

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 438

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 439

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 440

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 441

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 442

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 443

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 444

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 445

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 446

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 447

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 448

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 449

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 450

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 451

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 452

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 453

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 454

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 455

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 456

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 457

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 458

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 459

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 460

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 461

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 462

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 463

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 464

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 465

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 466

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 467

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 468

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 469

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 470

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 471

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 472

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 473

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 474

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 475

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 476

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 477

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 478

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 479

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 480

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 481

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 482

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 483

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 484

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 485

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 486

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 487

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 488

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 489

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 490

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 491

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 492

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 493

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 494

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 495

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 496

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 497

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 498

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 499

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 500

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 501

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 502

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 503

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 504

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 505

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 506

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 507

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 508

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 509

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 510

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 511

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 512

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 513

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 514

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 515

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 516

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 517

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 518

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 519

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 520

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 521

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 522

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 523

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 524

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 525

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 526

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 527

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 528

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 529

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 530

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 531

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 532

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 533

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 534

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 535

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 536

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 537

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 538

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 539

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 540

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 541

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 542

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 543

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 544

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 545

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 546

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 547

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 548

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 549

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 550

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 551

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 552

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 553

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 554

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 555

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 556

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 557

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 558

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 559

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 560

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 561

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 562

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 563

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 564

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 565

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 566

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 567

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 568

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 569

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 570

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 571

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 572

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 573

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 574

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 575

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 576

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 577

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 578

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 579

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 580

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 581

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 582

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 583

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 584

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 585

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 586

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 587

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 588

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 589

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 590

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 591

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 592

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 593

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 594

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 595

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 596

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 597

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 598

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 599

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 600

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 601

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 602

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 603

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 604

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 605

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 606

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 607

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 608

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 609

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 610

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 611

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 612

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 613

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 614

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 615

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 616

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 617

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 618

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 619

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 620

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 621

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 622

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 623

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 624

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 625

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 626

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 627

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 628

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 629

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 630

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 631

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 632

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 633

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 634

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 635

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 636

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 637

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 638

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 639

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 640

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 641

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 642

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 643

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 644

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 645

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 646

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 647

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 648

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 649

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 650

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 651

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 652

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 653

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 654

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 655

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 656

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 657

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 658

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 659

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 660

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 661

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 662

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 663

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 664

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 665

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 666

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 667

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 668

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 669

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 670

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 671

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 672

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 673

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 674

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 675

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 676

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 677

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 678

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 679

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 680

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 681

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 682

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 683

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 684

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 685

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 686

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 687

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 688

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 689

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 690

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 691

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 692

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 693

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 694

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 695

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 696

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 697

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 698

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 699

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 700

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 701

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 702

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 703

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 704

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 705

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 706

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 707

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 708

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 709

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 710

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 711

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 712

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 713

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 714

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 715

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 716

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 717

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 718

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 719

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 720

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 721

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 722

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 723

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 724

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 725

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 726

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 727

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 728

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 729

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 730

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 731

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 732

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 733

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 734

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 735

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 736

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 737

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 738

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 739

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 740

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 741

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 742

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 743

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 744

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 745

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 746

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 747

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 748

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 749

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 750

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 751

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 752

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 753

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 754

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 755

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 756

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 757

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 758

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 759

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 760

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 761

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 762

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 763

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 764

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 765

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 766

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 767

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 768

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 769

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 770

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 771

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 772

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 773

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 774

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 775

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 776

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 777

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 778

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 779

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 780

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 781

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 782

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 783

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 784

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 785

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 786

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 787

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 788

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 789

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 790

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 791

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 792

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 793

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 794

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 795

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 796

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 797

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 798

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 799

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 800

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 801

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 802

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 803

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 804

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 805

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 806

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 807

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 808

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 809

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 810

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 811

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 812

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 813

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 814

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 815

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 816

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 817

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 818

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 819

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 820

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 821

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 822

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 823

Текст:

undefined

Решение:

undefined

Задача 824

Текст:

undefined

Решение:

undefined