Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.
Решение:
Обозначим размер кредита через миллионов рублей. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты, которые составляют миллионов рублей каждый год. Таким образом, за три года общая сумма выплат по процентам будет равна:
Теперь рассмотрим погашение основного долга за последние два года. В середине 4-го года долг увеличивается на 20\% и становится равным:
Пусть — это сумма, которую заёмщик выплачивает в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце 4-го года остаток долга составит:
В середине 5-го года этот остаток увеличивается на 20\% и становится:
В конце 5-го года заёмщик выплачивает оставшуюся сумму , которая должна полностью погасить долг. Таким образом, получаем уравнение:
Раскроем скобки и решим уравнение:
Теперь общая сумма выплат за 5 лет составит сумму выплат по процентам за первые три года и двух одинаковых выплат в конце 4-го и 5-го годов:
Приведём к общему знаменателю:
По условию задачи общая сумма выплат должна быть меньше 7 миллионов рублей:
Решаем неравенство:
Так как должно быть целым числом, наибольшее возможное значение равно 3.
Ответ: миллиона рублей.
Задача 2
Текст:
Найдите значение выражения , если .
Решение:
Необходимо найти значение выражения , если .
Используем формулу для :
Подставляем :
Теперь находим :
Ответ: .
Задача 3
Текст:
В треугольнике угол равен ,
, . Найдите .
Решение:
В треугольнике , , . Необходимо найти .
Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны :
Подставим известные значения:
Теперь найдём . Напоминаем, что , то есть
Ответ: .
Задача 4
Текст:
Отрезки и — диаметры окружности с центром .
Угол равен .
Найдите величину угла .
Ответ дайте в градусах.
Решение:
Отрезки и — диаметры окружности с центром . . Необходимо найти величину угла .
Так как и являются диаметрами окружности, то угол, заключённый между ними, является центральным углом, и его величина в два раза больше, чем угол, образованный соответствующими хордами на окружности.
Используем теорему, что центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и углы на окружности, равен удвоенному углу на окружности.
Пусть — угол на окружности, который опирается на дугу . Тогда центральный угол , опирающийся на ту же дугу , будет в два раза больше:
Ответ: .
Задача 5
Текст:
Найдите величину угла , если его сторона касается окружности с центром ,
отрезок пересекает окружность в точке , а дуга окружности,
заключённая внутри этого угла, равна .
Ответ дайте в градусах.
Решение:
Воспользуемся свойством радиуса, проведенного в точку касания. Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касатаельной. Значит - прямоугольный.
равен дуге , на которую опирается (По свойству центрального угла)
Задача 6
Текст:
Четырёхугольник вписан в окружность.
Угол равен , угол равен .
Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение:
Четырёхугольник вписан в окружность. , . Необходимо найти .
Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна . Следовательно:
Теперь рассмотрим треугольник . В нём угол и угол являются соседними углами. Из теоремы о внешнем угле для треугольника:
Подставим известные значения:
Ответ: .
Задача 7
Текст:
В треугольнике угол равен ,
, .
Найдите .
Решение:
В треугольнике , , . Необходимо найти .
Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны :
Подставим известные значения:
Теперь найдём . Напоминаем, что , то есть
Ответ: .
Задача 8
Текст:
В треугольнике сторона , угол .
Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение:
В треугольнике дана сторона и . Необходимо найти радиус описанной окружности.
Используем формулу для радиуса описанной окружности треугольника:
где — длина стороны, а — напротив этой стороны.
В данном случае , и , следовательно, .
Таким образом, радиус равен:
Поскольку , подставим это значение в формулу:
Ответ: .
Задача 9
Текст:
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна . Обозначим углы четырёхугольника как , , и . Даны углы и . Найдём углы и :
Таким образом, больший из оставшихся углов:
Ответ: .
Задача 10
Текст:
Четырехугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение:
Четырехугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение:
Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов в нем равна . Это свойство касается углов, лежащих на одной прямой, то есть угол и угол должны в сумме давать . Таким образом:
Теперь обратим внимание на угол . Он составляется из углов и , так как они лежат на одной прямой:
Подставляем известные значения:
Решаем это уравнение:
Ответ:
Задача 11
Текст:
Площадь параллелограмма равна .
Точка — середина стороны .
Найдите площадь трапеции .
Решение:
1. Проведем отрезок параллельно стороне :
- Так как и — параллелограмм, то будет равен и параллелен ему.
- Точка лежит на стороне .
2. Проведем отрезок :
- Точка — середина стороны , поэтому .
- Отрезок соединяет точку на с точкой на .
3. Разделим фигуру на треугольники:
- Получаем четыре треугольника: , , , и .
- Все эти треугольники равны по площади, так как они имеют равные основания и высоты.
4. Площадь параллелограмма :
- Площадь параллелограмма равна 28.
- Поскольку фигура разделена на 4 равных треугольника, площадь каждого треугольника равна:
5. Площадь трапеции :
- Трапеция состоит из трех таких треугольников: , , и .
- Следовательно, площадь трапеции равна:
Задача 12
Текст:
Две стороны треугольника равны 15 и 18.Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон.
Решение:
Обозначим основание, на которое опущена высота, за , а саму высоту за . По формуле площади треугольника:
Подставляем данные для стороны и высоты :
Теперь выразим высоту , опущенную на сторону , используя ту же формулу площади:
Решим уравнение:
Ответ: .
Задача 13
Текст:
В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 107. Найдите угол C.
Решение:
Так как , треугольник равнобедренный, и его углы при основании и равны.
Внешний угол при вершине равен , а внутренний угол при вершине вычисляется как:
Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:
Используем сумму углов треугольника:
Подставляем известные значения:
Решаем уравнение:
Ответ: .
Задача 14
Текст:
В четырехугольник вписана окружность. Известно, что , . Найдите периметр четырехугольника .
Решение:
Так как в вписанном четырехугольнике суммы его противоположных сторон равны, получаем:
Подставляем значения:
Следовательно, периметр четырехугольника:
Ответ: .
Задача 15
Текст:
Площадь треугольника равна . Средняя линия параллельна стороне .
Найдите площадь трапеции .
Решение:
Используем свойство средней линии в треугольнике. Так как — это средняя линия, она делит треугольник на два меньших треугольника, один из которых является треугольником . Площадь треугольника будет в 4 раза меньше площади треугольника , так как длины сторон треугольника в 2 раза меньше.
Площадь треугольника можно вычислить следующим образом:
Теперь вычислим площадь трапеции :
Ответ: .
Задача 16
Текст:
В прямоугольном треугольнике угол . Необходимо найти величину угла между биссектрисой и медианой , проведёнными из вершины прямого угла .
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине . Известно, что:
Так как сумма углов в треугольнике равна , находим угол :
Медиана , проведённая из вершины на гипотенузу , делит на два равнобедренных треугольника и , так как медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно:
Биссектриса делит угол пополам, значит:
Теперь найдём угол между биссектрисой и медианой :
Ответ: .
Задача 17
Текст:
Найдите центральный угол, если он на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
Решение:
Обозначим вписанный угол через . Согласно свойству центрального и вписанного углов, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного:
Центральный угол} = 2x.
По условию задачи центральный угол на больше вписанного:
Решим уравнение:
Теперь найдём центральный угол:
Ответ: .
Задача 18
Текст:
Даны векторы и . Найдите длину вектора .
Решение:
Сначала найдем выражение для вектора :
Теперь найдем длину этого вектора. Длина вектора вычисляется по формуле:
Для вектора длина будет равна:
Ответ: 29.
Задача 19
Текст:
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.
Решение:
Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза, так как получившиеся треугольники в основании подобны и коэффициент подобия k=2 (по средней линии), а площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Тогда объем отсеченной треугольной призмы будет:
Ответ: 13.
Задача 20
Текст:
Дано два цилиндра. Объем первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра.
Решение:
Объем цилиндра вычисляется по формуле:
где — радиус основания, а — высота цилиндра.
Обозначим радиус и высоту первого цилиндра как и , а объем первого цилиндра равен:
Для второго цилиндра радиус в два раза больше, то есть , а высота в 3 раза меньше, то есть . Объем второго цилиндра будет:
Заменим на 15:
Ответ: 20.
Задача 21
Текст:
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 60. Найдите объем конуса.
Решение:
Запишем формулу для объёма шара:
Объем конуса:
Площадь основания конуса:
Так как радиус основания конуса равен радиусу шара, то
Ответ: 15.
Задача 22
Текст:
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 9 раз, а радиус основания останется прежним?
Решение:
Объем конуса:
Если высота конуса уменьшится в 9 раз, то новый объем будет:
Таким образом, объем конуса уменьшится в 9 раз.
Ответ: 9
Задача 23
Текст:
Объем куба равен 80. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины
Решение:
Объем куба:
Площадь основания треугольной призмы:
Основание является равнобедренным треугольником, который образуется плоскостью, проходящей через середины двух ребер куба. Каждый из этих ребер имеет длину , и основания треугольника будут половинами этих ребер, то есть длина каждого основания треугольника будет .
Площадь треугольника:
Теперь находим объем треугольной призмы:
Поскольку объем куба равен , то объем призмы:
Задача 24
Текст:
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Решение:
Обозначим радиус основания цилиндра через , а высоту цилиндра — через . Из условия задачи известно, что .
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
Так как , получаем:
Из условия задачи известно, что , следовательно:
Решим это уравнение относительно :
Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
где — образующая конуса. Для конуса, имеющего общую высоту с цилиндром, образующая выражается через радиус и высоту по теореме Пифагора:
Теперь подставим в формулу для площади боковой поверхности конуса:
Подставим значение из предыдущего уравнения:
Ответ: 5.
Задача 25
Текст:
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины , , , правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.
Решение:
Объем треугольной пирамиды вычисляется по формуле:
где — площадь основания, — высота.
В данном случае основанием является треугольник , площадь которого равна 6. Высота пирамиды — это боковое ребро , равное 9.
Подставляем значения:
Ответ: .
Задача 26
Текст:
В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , .
Решение:
Объем многогранника, образованного вершинами , , , , , , можно найти как половину объема прямоугольного искомого параллелепипеда (исходя из рисунка).
Задача 27
Текст:
Шар, объем которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.
Решение:
Объем шара:
Решаем относительно :
Объем цилиндра:
Так как высота цилиндра равна , получаем:
Подставляем :
Ответ: 27.
Задача 28
Текст:
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины , , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .
Решение:
Объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , является объемом пирамиды с основанием, которое является прямоугольником с размерами и , и высотой .
Площадь основания пирамиды равна площади прямоугольника:
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
где — высота пирамиды.
Подставим значения:
Ответ: 72.
Задача 29
Текст:
На олимпиаде по математике 550 участников разместили в четырёх аудиториях. В первых трёх удалось разместить по 110 человек, оставшихся переправили в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение:
Обозначим количество участников в запасной аудитории как :
Вероятность того, что случайно выбранный участник находится в запасной аудитории, вычисляется по следующей формуле:
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, составляет 0.4 или 40\%.
Ответ: 0.4.
Задача 30
Текст:
Фабрика выпускает сумки. В среднем 4 сумки из 50 имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без скрытого дефекта.
Решение:
Общее количество сумок:
Количество сумок с дефектом:
Количество сумок без дефекта:
Теперь находим вероятность того, что купленная сумка окажется без дефекта:
Ответ: 0,92.
Задача 31
Текст:
На конференцию приехали ученые из трех стран: 5 из Австрии, 4 из Германии и 6 из Сербии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад учёного из Сербии.
Решение:
Общее количество ученых:
Количество учёных из Сербии:
Порядок докладов выбирается случайным образом, значит, каждый учёный имеет равные шансы оказаться на любом месте. Вероятность того, что десятым окажется учёный из Сербии, равна отношению количества учёных из Сербии к общему числу участников:
Ответ: 0,4.
Задача 32
Текст:
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниче, чем 36,8 °C, равна 0,83. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека окажется 36,8 °C или выше.
Так как сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1, вероятность того, что температура окажется или выше, находится как:
Решение:
Ответ: .
Задача 33
Текст:
В среднем из 3000 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение:
Найдём вероятность того, что случайно выбранный насос подтекает:
Тогда вероятность того, что насос не подтекает:
Ответ: .
Задача 34
Текст:
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Биолог" играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда "Биолог" начнет игру с мячом все три раза.
Решение:
Вероятность того, что команда "Биолог" начнет игру с мячом в одном матче:
Так как команда играет три матча, и события независимы, общая вероятность того, что команда "Биолог" начнет игру с мячом во всех трёх матчах:
Ответ: 0,125.
Задача 35
Текст:
В чемпионате по гимнастике участвуют 25 спортсменок: 6 из Венгрии, 9 из Румынии, остальные — из Болгарии. Порядок, в котором выступают спортсменки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии.
Решение:
Сначала найдём количество спортсменок из Болгарии:
Общее количество спортсменок — 25. Вероятность того, что первая выступит спортсменка из Болгарии:
Ответ: .
Задача 36
Текст:
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью м/с, начал торможение с постоянным ускорением м/с. За секунд после начала торможения он прошёл путь
.
Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ дайте в секундах.
Решение:
Подставим известные значения:
Умножим уравнение на 2:
Приведём к стандартному виду:
Разделим на 5:
Решим квадратное уравнение:
Так как автомобиль мог проехать 30 метров за два момента времени, выбираем меньшее значение:
Ответ: .
Задача 37
Текст:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
Решение:
Рассмотрим все возможные исходы бросков:
1. Орёл, Орёл (ОО)
2. Орёл, Решка (ОР)
3. Решка, Орёл (РО)
4. Решка, Решка (РР)
Благоприятные исходы — те, в которых решка выпадает ровно один раз:
Общее количество исходов — 4, а количество благоприятных — 2. Вероятность наступления благоприятного исхода:
Ответ: .
Задача 38
Текст:
Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше четырех задач, равна 0,73. Вероятность того, что А. верно решит больше трех задач, равна 0,86. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 4 задачи.
Решение:
Обозначим через вероятность того, что А. решит больше 4 задач, а через вероятность того, что он решит больше 3 задач.
Из условия задачи:
Вероятность того, что А. решит ровно 4 задачи, можно найти как разницу между вероятностью того, что он решит больше 3 задач, и вероятностью того, что он решит больше 4 задач:
Ответ: .
Задача 39
Текст:
В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают семь человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдет в магазин?
Решение:
Общее количество способов выбрать 7 человек из 20 можно найти с помощью комбинаций:
Теперь найдем количество способов выбрать 7 человек, среди которых обязательно будет турист Д. Для этого сначала фиксируем Д. и выбираем 6 человек из оставшихся 19:
Таким образом, вероятность того, что турист Д. пойдет в магазин, равна отношению количества благоприятных случаев (когда Д. входит в группу) к общему количеству способов выбрать 7 человек:
А можно бошку себе не ломать и написать тупо
Ответ: .
Задача 40
Текст:
В группе туристов 50 человек. Их вертолетом доставлят в труднодоступный район, перевозя по 50 человек за рейс. Порядок, в котором вертолет перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолета.
Решение:
Людей перевозят по 5 человек. Если В. попадает в эти 5 человек, значит он летит. Это и есть благоприятное условие. Значит
Ответ: 0,1
Задача 41
Текст:
Фабрика выпускает сумки. В среднем 6 сумок из 75 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Решение:
Общее количество сумок равно 75, из которых 5 имеют дефекты. Следовательно, количество сумок без дефектов равно .
Теперь вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов, равна:
Ответ: 0,92.
Задача 42
Текст:
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Изумруд" играет два матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда "Изумруд" начнет игру с мячом не больше одного раза.
Решение:
Поскольку бросок монеты симметричен, вероятность того, что команда "Изумруд" начнет игру с мячом в одном матче, равна . Вероятность того, что она не начнет игру с мячом, также равна .
Мы ищем вероятность того, что команда "Изумруд" начнет игру с мячом не больше одного раза. Возможные события:
1. Команда "Изумруд" не начнет игру с мячом в обоих матчах.
2. Команда "Изумруд" начнет игру с мячом ровно один раз.
Для этих событий вероятность вычисляется следующим образом:
1. Вероятность того, что команда не начнет игру с мячом в обоих матчах:
2. Вероятность того, что команда начнет игру с мячом ровно один раз:
Теперь находим общую вероятность:
Ответ: .
Задача 43
Текст:
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 23 пассажиров, равна 0,87. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров, равна 0,61. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 22 включительно.
Решение:
Обозначим следующие события:
- : число пассажиров в автобусе меньше 23.
- : число пассажиров в автобусе меньше 14.
Нам нужно найти вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 22 включительно, что соответствует событию , где — дополнение события (то есть число пассажиров больше или равно 14).
Используя формулы вероятности, имеем:
Подставляем известные значения:
Ответ: .
Задача 44
Текст:
В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение:
Обозначим вероятность того, что насос подтекает, как . В данном случае из 2000 насосов 12 подтекают, следовательно:
Теперь вероятность того, что выбранный насос не подтекает, будет дополнением к вероятности того, что насос подтекает:
Ответ: .
Задача 45
Текст:
В группе туристов 300 человек. Их вертолетом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолет перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолета.
Поскольку вертолет перевозит по 15 человек за рейс, всего будет рейсов. Поскольку порядок перевоза случайный, вероятность того, что турист В. окажется в первом рейсе, равна:
Решение:
Ответ: .
Задача 46
Текст:
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Решение:
Обозначим события:
- — кофе закончится в первом автомате.
- — кофе закончится во втором автомате.
Из условия задачи известно:
- ,
- ,
- .
Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть вероятность, что в обоих автоматах кофе не закончится. Это событие будет противоположным событию, когда хотя бы в одном автомате закончится кофе. Вероятность этого события можно найти как:
Используем формулу для вероятности объединения двух событий:
Подставляем известные значения:
Теперь находим вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах:
Ответ: .
Задача 47
Текст:
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
Решение:
Вероятность, что масса меньше 810 г:
Вероятность, что масса больше 790 г:
Найти: Вероятность, что масса больше 790 г, но меньше 810 г:
1. Вероятность, что масса больше 810 г:
2. Вероятность, что масса больше 790 г, но меньше 810 г:
Задача 48
Текст:
Стрелок в тире стреляет по мищени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7?
Решение:
Если стрелок совершает выстрелов, то вероятность того, что он не попадет в цель за все выстрелов, будет равна .
Теперь вероятность того, что он хотя бы один раз попадет в цель, будет равна:
Нам нужно, чтобы эта вероятность была не меньше 0,7.
Теперь проверим, при каком это условие выполняется:
- При :
- При :
Ответ: 2.
Задача 49
Текст:
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события "Сумма очков равна 8".
Решение:
Обозначим результат первого броска как , а второго — как , где , так как шестерка не выпала ни разу.
Событие "Сумма очков равна 8" можно записать как:
Теперь найдем все возможные такие пары чисел, для которых сумма равна 8, и при этом ни одно из чисел не равно 6. Возможные варианты:
Таким образом, есть 3 благоприятных исхода: .
Теперь определим общее количество исходов, при которых шестерка не выпала. Поскольку для каждого броска есть 5 возможных значений (1, 2, 3, 4, 5), то общее количество исходов равно:
Таким образом, вероятность того, что сумма очков равна 8, при условии, что шестерка не выпала, равна:
Ответ: .
Задача 50
Текст:
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Решение:
Обозначим следующие события:
- — батарейка неисправна.
- — батарейка забракована системой контроля.
- — батарейка исправна.
Необходимую вероятность можно найти с использованием формулы полной вероятности:
Из условия задачи:
- — вероятность того, что батарейка неисправна.
- — вероятность того, что батарейка исправна.
- — вероятность того, что неисправная батарейка будет забракована.
- — вероятность того, что исправная батарейка будет забракована по ошибке.
Теперь подставим эти значения в формулу:
Выполним вычисления:
Ответ: .
Задача 51
Текст:
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события "Сумма очков равна 10".
Решение:
Обозначим следующее:
- — событие, что сумма очков равна 10.
- — событие, что шесть очков не выпало ни разу.
Необходимо найти условную вероятность , которая вычисляется по формуле:
1. **Вычислим **:
Сначала определим все возможные исходы при двух бросках игральной кости. Всего таких исходов , так как на каждом броске можно получить одно из 6 возможных значений.
Теперь вычислим количество благоприятных исходов для события (шестёрка не выпала ни разу). При каждом броске есть 5 возможных исходов, кроме шести, то есть 5 вариантов на первом и 5 вариантов на втором броске:
2. **Вычислим **:
Теперь найдем количество благоприятных исходов для события (сумма очков равна 10, но при этом шестёрка не выпала). Чтобы сумма равнялась 10, возможные пары чисел на костях: . Пара, включающая шесть, не подходит, так как по условию шестёрка не может выпасть. Таким образом, остаются только следующие пары:
Но так как шестёрка не выпала, то остаются только пара .
Итак, существует один благоприятный исход:
3. **Найдем условную вероятность**:
Ответ: .
Задача 52
Текст:
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадет в две первые мишени и не попадет в две последние.
Решение:
Обозначим события:
- — стрелок попадет в первую мишень.
- — стрелок попадет во вторую мишень.
- — стрелок не попадет в третью мишень.
- — стрелок не попадет в четвертую мишень.
Мы ищем вероятность того, что стрелок попадет в первые две мишени и не попадет в последние две:
Из условия задачи:
- — вероятность попадания в первую мишень.
- — вероятность попадания во вторую мишень.
- — вероятность того, что стрелок не попадет в третью мишень.
- — вероятность того, что стрелок не попадет в четвертую мишень.
Теперь подставим эти значения в формулу:
Ответ: 0,0441.
Задача 53
Текст:
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение:
Пусть , , и — события, при которых перегорает первая, вторая и третья лампы соответственно. Нам нужно найти вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит. Это событие противоположно событию, когда все три лампы перегорят.
Из условия задачи известно, что вероятность перегорания каждой лампы равна 0,8, то есть:
Поскольку лампы перегорают независимо, вероятность того, что перегорят все три лампы, равна произведению вероятностей для каждой из ламп:
Теперь вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, будет равна дополнению вероятности того, что перегорят все три лампы:
Ответ: .
Задача 54
Текст:
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,05. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Обозначим следующие события:
- — кофе закончится в первом автомате,
- — кофе закончится во втором автомате.
Решение:
Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть вероятность того, что не закончится ни в одном из автоматов. Это событие противоположно событию, когда кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.
Из условия задачи нам известны следующие вероятности:
- ,
- ,
- .
Теперь, вероятность того, что кофе не закончится в первом автомате, равна , а вероятность того, что кофе не закончится во втором автомате, равна .
Мы ищем вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть вероятность события , то есть дополнение объединения событий и . Из формулы для вероятности объединения двух событий имеем:
Таким образом, вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна:
Ответ: .
Задача 55
Текст:
Найдите корень уравнения
Решение:
Для устранения квадратного корня возведем обе стороны уравнения в квадрат:
Теперь решим уравнение:
Ответ: .
Задача 56
Текст:
Найдите корень уравнения .
Решение:
Для удобства представим 49 как степень числа 7:
Теперь уравнение можно записать в следующем виде:
Так как , уравнение примет вид:
Используем свойство степеней :
Теперь, приравняв показатели степени, получаем:
Решим это уравнение:
Ответ: .
Задача 57
Текст:
Найдите корень уравнения .
Решение:
Поскольку логарифмы с одинаковыми основаниями, можно приравнять аргументы:
Решим это уравнение:
Ответ: .
Задача 58
Текст:
Найдите корень уравнения .
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Решим уравнение:
Ответ: .
Задача 59
Текст:
Найдите корень уравнения .
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Решим уравнение:
Ответ: .
Задача 60
Текст:
Найдите корень уравнения .
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Решим уравнение:
Ответ: .
Задача 61
Текст:
Найдите корень уравнения .
Решение:
Так как логарифмические выражения равны, при одинаковом основании можно приравнять их аргументы:
Решим уравнение:
Проверим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под логарифмом должно быть положительным:
удовлетворяет этому условию.
Ответ: .
Задача 62
Текст:
Найдите корень уравнения .
Решение:
Возьмем кубический корень из обеих частей уравнения:
Так как , получаем:
Решаем уравнение:
Ответ: .
Задача 63
Текст:
Найдите корень уравнения
Решение:
Представим как :
Используем свойство степеней: :
Так как основания одинаковые, приравняем показатели:
Раскрываем скобки:
Переносим в левую часть:
Делим на 2:
Ответ: .
Задача 64
Текст:
Найдите корень уравнения
Решение:
Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если равны их аргументы, приравняем выражения:
Решаем уравнение:
Ответ: .
Задача 65
Текст:
Найдите корень уравнения
Решение:
Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если равны их аргументы, приравняем выражения:
Решаем уравнение:
Ответ: .
Задача 66
Текст:
Найдите корень уравнения
Решение:
Представим число 125 как степень пятёрки:
Тогда уравнение перепишется в виде:
Так как основания одинаковые, приравниваем показатели:
Решаем уравнение:
Ответ: .
Задача 67
Текст:
Найдите корень уравнения
Решение:
Представим число как степень тройки:
Тогда уравнение перепишется в виде:
Так как основания одинаковые, приравниваем показатели:
Решаем уравнение:
Ответ: .
Задача 68
Текст:
Найдите корень уравнения
Решение:
Возведем обе стороны уравнения в куб:
Решаем:
Вычитаем 3 из обеих сторон:
Ответ: .
Задача 69
Текст:
Найдите корень уравнения
Решение:
Представим и как степени двойки:
Тогда уравнение принимает вид:
Используем свойство степени: , получаем:
Поскольку основания одинаковы, приравниваем показатели степеней:
Решаем для :
Ответ: .
Задача 70
Текст:
Найдите корень уравнения
Решение:
Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны, можно приравнять аргументы:
Решаем для :
Ответ: .
Задача 71
Текст:
Найдите корень уравнения .
Решение:
Умножим обе части на :
Раскроем скобки:
Теперь решим для :
Ответ: 1,4
Задача 72
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Решение:
Используем идентичности тригонометрических функций для упрощения. Мы знаем, что:
Таким образом:
Теперь подставим это в исходное выражение:
Также известно, что:
И теперь подставляем:
Используя тригонометрическую идентичность , получаем:
Таким образом, выражение можно переписать как:
Сокращаем и :
Ответ: 4
Задача 73
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Используем свойство логарифмов:
Тогда:
Так как , то:
Ответ: 6
Задача 74
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Воспользуемся формулой:
Подставляем :
Так как
то
Подставляем это в исходное выражение:
Упрощаем:
Ответ: .
Задача 75
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Используем формулу:
Подставляем :
Так как:
то:
Подставляем это в исходное выражение:
Упрощаем:
Ответ: 4.
Задача 76
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Используем формулу:
Подставляем :
Так как:
то:
Подставляем это в исходное выражение:
Упрощаем:
Ответ: 4,5.
Задача 77
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Используем свойство логарифмов:
Тогда:
Так как , получаем:
Теперь подставляем в выражение:
Ответ: 36.
Задача 78
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Разложим основание 14:
тогда:
Подставляем в выражение:
Упрощаем показатели степеней:
Разделим степени двойки:
Тогда:
Ответ: 28.
Используем удвоенную формулу:
Подставляем:
Упростим аргумент:
Так как:
Подставляем:
Теперь умножаем на :
Ответ: .
Задача 81
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Вынесем общий множитель:
Используем основное тригонометрическое тождество:
Подставляем:
Упростим аргумент:
Так как:
Значение косинуса:
Подставляем:
Ответ: .
Задача 82
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Используем формулу удвоенного угла:
Тогда числитель преобразуется:
Подставляем в исходное выражение:
Сокращаем :
Ответ: 4.
Задача 83
Текст:
Найдите значение выражения
Решение:
Используем свойство логарифмов:
Тогда первое слагаемое можно переписать:
Значит, выражение принимает вид:
Используем свойство суммы логарифмов:
Получаем:
Выполняем умножение:
Следовательно:
Ответ: 2.
Используем формулу разности косинусов:
Тогда выражение перепишем так:
Умножаем аргумент на 2:
Значение косинуса:
Подставляем:
Ответ: .
Задача 86
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Используем формулу удвоенного угла:
Тогда:
Упрощаем аргумент:
Так как , то
Значение синуса:
Следовательно:
Подставляем:
Ответ: .
Задача 87
Текст:
Найдите значение выражения:
.
Решение:
Представим корень в виде степени:
.
Используем свойство логарифмов:
,
тогда:
.
По свойству логарифма:
,
получаем:
.
Теперь вычисляем:
.
Ответ: .
Задача 88
Текст:
Найдите значение выражения:
.
Решение:
Используем соотношение:
,
тогда:
и .
Подставим в выражение:
Используем тождество:
,
где :
Подставим:
Сократим :
Так как , то выражение упрощается:
Ответ: .
Задача 89
Текст:
Найдите значение выражения:
.
Решение:
Используем свойство логарифмов:
Применяем его к заданному выражению:
Вычисляем дробь:
Следовательно:
Так как , то:
Ответ: .
Задача 90
Текст:
Найдите значение выражения:
.
Решение:
Сначала вычислим квадрат выражения в числителе:
Теперь подставим в исходное выражение:
Выполним деление:
Ответ: .
Задача 91
Текст:
Найдите значение выражения:
.
Решение:
Используем формулу удвоенного угла:
Подставим :
Упростим аргумент синуса:
Значение равно , поэтому:
Теперь умножим на :
Ответ: .
Задача 92
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Сначала упростим показатели степеней.
Представим числа через степень двойки:
Подставим:
Теперь вычислим частное:
Ответ: 4.
Задача 93
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Сначала упростим показатель степени в первой части выражения:
Теперь вычислим частное:
Ответ: 16.
Представим число как :
Тогда выражение примет вид:
Используем свойство степеней :
Ответ: 25.
Задача 96
Текст:
Найдите , если и .
Решение:
Используем основное тригонометрическое тождество:
Подставляем значение :
Так как , то положительно.
Теперь найдём :
Упростим дробь:
Ответ: .
Задача 97
Текст:
Найдите , если и .
Решение:
Используем основное тригонометрическое тождество:
Подставляем значение :
Так как , то будет положительным, так как в этом интервале синус положителен.
Ответ: .
Задача 98
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Для упрощения этого выражения можно воспользоваться свойствами корней и преобразовать степени:
Таким образом, выражение превращается в:
Теперь применим правило для деления степеней с одинаковым основанием: :
Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю:
Таким образом, выражение упрощается до:
Теперь вычислим:
Ответ: .
Задача 99
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Используем основное тригонометрическое тождество:
Подставляем :
Так как
то получаем:
Теперь вычисляем выражение:
Сокращаем:
Упрощаем:
Ответ: .
Задача 100
Текст:
Найдите значение выражения:
Решение:
Разложим подкоренные выражения на множители:
Подставляем в выражение:
Вычитаем:
Учитываем, что :
Ответ: .
Задача 101
Текст:
Найдите значение выражения .
Решение:
Представим 121 как степень числа 11:
Тогда выражение примет вид:
Используем свойство корней:
Преобразуем каждый корень:
Подставляем:
Используем свойство степеней :
Делим степени:
Ответ: .
Задача 102
Текст:
Найдите значение выражения .
Решение:
Представим числа в виде степеней двойки:
Подставим это в выражение:
Используем свойство степеней :
Упрощаем вторую степень:
По свойству сложения показателей степеней:
Находим значение:
Ответ: .
Задача 103
Текст:
Найдите значение выражения .
Решение:
Значения тригонометрических функций:
Подставим их в выражение:
Упростим:
Ответ: .
Задача 104
Текст:
На рисунке изображен график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.
Решение:
Производная функции отрицательна тогда, когда функция убывает. Или можно по-другому. Производная функции отрицательна тогда, когда касательная к ней составляет тупой угол с положительным направлением оси абсцисс
[image:0]
Как видно из рисунка, таких точек всего 4.
Представим основание 9 как :
Используем свойство степеней :
Теперь подставим в исходное выражение:
Используем свойство степеней :
Вычисляем:
Ответ: .
Задача 107
Текст:
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции функции f(x) в точке .
Решение:
Значение производной функции в точке это значение тангенса угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс. [image:0] В данном случае, функция убывающая, значит значение тангенса будет отрицательным.
Ответ: -0,4
Задача 108
Текст:
Даны векторы и . Найдите скалярное произведение .
Решение:
Скалярное произведение векторов и определяется как:
Подставим значения:
Вычислим:
Задача 109
Текст:
Даны векторы и . Найдите длину вектора .
Решение:
Сначала найдем координаты вектора :
Длина вектора находится по формуле:
Подставим значения:
Ответ: .
Задача 110
Текст:
Даны векторы и . Найдите скалярное произведение .
Решение:
Скалярное произведение двух векторов и вычисляется по формуле:
Подставляем значения:
Ответ: .
Задача 111
Текст:
На координатной плоскости изображены векторы и , координатыми которых являются целые числа. Найдите длину вектора .
Решение:
На координатной плоскости изображены векторы и , координаты которых являются целыми числами. Найдите длину вектора .
Найдем координаты векторов, разложив их на координатные векторы (см. рис.): [image:0]
Найдем координаты вектора :
Выполняем умножение и сложение:
Длина вектора находится по формуле:
Подставляем координаты:
Задача 112
Текст:
моля воздуха при давлении атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением , где — постоянная, К — температура воздуха. Найдите, какое давление (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в Дж.
Решение:
Формула для работы изотермического сжатия:
Подставляем значения:
Вычисляем коэффициент:
Находим логарифм:
Решаем уравнение:
Следовательно,
Задача 113
Текст:
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: , где ~--- время в минутах, ~К, ~К/мин, ~К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше ~К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Решение:
Дана зависимость температуры нагревательного элемента от времени:
где К, К/мин, К/мин. Прибор нужно отключить, если температура превышает К. Найдем время , при котором К.
Подставляем значения в уравнение:
Переносим все члены в одну сторону:
Делим уравнение на для упрощения:
Решаем квадратное уравнение:
Получаем два корня:
Поскольку температура сначала возрастает, а затем убывает (коэффициент К/мин отрицательный), наибольшее время, через которое прибор нужно отключить, равно минутам.
Задача 114
Текст:
Водолазный колокол, содержащий моля воздуха при давлении атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением , где — постоянная, — температура воздуха. Найдите, какое давление (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в .
Решение:
Подставим известные значения , , , , :
Упростим выражение:
Разделим обе части уравнения на :
Вычислим правую часть:
Перейдём от логарифма к показательной форме:
Вычислим степень:
Найдём , умножив обе части на :
Задача 115
Текст:
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением км/ч. Скорость вычисляется по формуле , где — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Подставим известные значения км/ч и км:
Упростим выражение под корнем:
Возведём обе части уравнения в квадрат:
Вычислим :
Разделим обе части уравнения на :
Задача 116
Текст:
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле , где м/с — скорость звука в воде, — частота испускаемых импульсов, — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна м/с.
Решение:
Подставим известные значения м/с, м/с, МГц:
Разделим обе части уравнения на :
Упростим левую часть:
Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
Раскроем скобки в левой части:
Перенесём все члены с в одну сторону, а остальные — в другую:
Вынесем за скобки слева и приведём правую часть к общему знаменателю:
Упростим коэффициент при слева:
Теперь уравнение принимает вид:
Сократим в обеих частях уравнения:
Вынесем за скобки в числителе:
Сократим :
Задача 117
Текст:
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону , где — начальная масса изотопа, — время, прошедшее от начального момента, — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа мг. Период его полураспада составляет мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна мг.
Решение:
Подставим известные значения мг, мг, мин:
Разделим обе части уравнения на :
Упростим левую часть:
Заметим, что . Таким образом:
Приравняем показатели степеней:
Умножим обе части уравнения на :
Задача 118
Текст:
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в км от города. Ответ дайте в минутах.
Решение:
Подставим известные значения км, км/ч, км/ч:
Упростим выражение:
Перенесём все члены в одну сторону:
Разделим уравнение на для упрощения:
Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:
где , , . Подставим значения:
Вычислим дискриминант:
Таким образом:
Найдём корни:
Вычислим каждый корень:
Отрицательный корень не имеет физического смысла, поэтому выбираем часа.
Переведём время в минуты:
Задача 119
Текст:
К источнику с ЭДС В и внутренним сопротивлением Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой . При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее В? Ответ дайте в омах.
Решение:
Подставим известные значения В, В, Ом:
Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
Раскроем скобки в левой части:
Перенесём все члены с в одну сторону:
Упростим:
Найдём :
Задача 120
Текст:
Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону , где — время в минутах, — начальная угловая скорость вращения катушки, а — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки достигнет . Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.
Решение:
Подставим известные значения , , :
Упростим выражение:
Перенесём все члены в одну сторону:
Разделим уравнение на для упрощения:
Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:
где , , . Подставим значения:
Вычислим дискриминант:
Таким образом:
Найдём корни:
Вычислим каждый корень:
Отрицательный корень не имеет физического смысла, поэтому выбираем минут.
Задача 121
Текст:
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где — высота в метрах, — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее метров?
Решение:
Мяч находится на высоте не менее метров, если выполняется неравенство:
Перенесём в левую часть:
Упростим выражение:
Умножим неравенство на , чтобы коэффициент при стал положительным (при этом знак неравенства меняется):
Решим квадратное уравнение для нахождения корней. Используем формулу корней:
где , , . Подставим значения:
Вычислим дискриминант:
Таким образом:
Найдём корни:
Корни уравнения: и .
Квадратичная функция представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Неравенство выполняется между корнями и .
Следовательно, мяч находится на высоте не менее метров в течение времени:
Задача 122
Текст:
Два тела, массой кг каждое, движутся с одинаковой скоростью м/с под углом друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле , где — масса в килограммах, — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее джоулей.
Решение:
Подставим известные значения Дж, кг, м/с:
Упростим выражение:
Разделим обе части уравнения на :
Извлечём квадратный корень из обеих частей:
Найдём угол , используя таблицу значений синуса:
Так как угол между телами равен , то:
Задача 123
Текст:
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала Гц и определяется следующим выражением:
где — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а м/с и м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет не менее Гц?
Решение:
Подставим известные значения Гц, Гц, м/с, м/с в формулу:
Разделим обе части уравнения на :
Упростим левую часть:
Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
Раскроем скобки в левой части:
Упростим:
Перенесём все члены с в одну сторону, а остальные — в другую:
Вынесем за скобки слева:
Упростим коэффициент при :
Теперь уравнение принимает вид:
Умножим обе части уравнения на :
Задача 124
Текст:
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями и их общее сопротивление задаётся формулой
а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше Ом. Ответ дайте в омах.
Решение:
Подставим известные значения Ом и Ом в формулу для общего сопротивления:
Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
Раскроем скобки в левой части:
Перенесём все члены с в одну сторону:
Упростим:
Найдём :
Задача 125
Текст:
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону , где — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, м — начальная высота столба воды, — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а м/с — ускорение свободного падения. Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Решение:
Объём воды в баке пропорционален высоте столба воды. Если в баке остаётся четверть первоначального объёма воды, то высота столба воды также составляет четверть начальной высоты:
.
Подставим :
.
Теперь подставим известные значения , , в формулу для :
.
Упростим выражение:
1. Вычислим :
.
2. Подставим это значение:
.
3. Упростим коэффициенты:
.
4. Сократим дроби:
.
Теперь решим уравнение :
.
Перенесём все члены в одну сторону:
.
Умножим уравнение на , чтобы избавиться от десятичных дробей:
.
Разделим уравнение на для упрощения:
.
Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:
,
где , , . Подставим значения:
.
Вычислим дискриминант:
.
Найдём корни:
.
Вычислим:
.
Найдём два корня:
,
.
Физический смысл имеет меньший корень , так как вода не может оставаться в баке после полного опустошения.
Задача 126
Текст:
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием см. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от до см, а расстояние от линзы до экрана — в пределах от до см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение:
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
Подставим известное значение :
Выразим через :
Приведём правую часть к общему знаменателю:
Теперь выразим :
Чтобы найти наименьшее возможное значение , нужно минимизировать выражение . Для этого должно быть максимально возможным, так как увеличение уменьшает знаменатель , что увеличивает значение дроби.
Максимальное значение равно см. Подставим в формулу для :
Упростим выражение:
Задача 127
Текст:
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому , где — мощность излучения звезды (в Ваттах), — постоянная, — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а — температура (в Кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна , а мощность её излучения равна . Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.
Решение:
Подставим известные значения , , в формулу:
Выразим :
Подставим значения:
Упростим знаменатель:
Теперь вычислим :
Упростим числитель и знаменатель:
Вычислим коэффициент:
Таким образом:
Извлечём корень четвёртой степени:
Разделим на два этапа:
1. Извлечём корень четвёртой степени из :
2. Извлечём корень четвёртой степени из :
Таким образом:
Задача 128
Текст:
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону:
где м/с — скорость звука. Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы.
Решение:
Частота второго гудка должна быть больше частоты первого гудка как минимум на Гц:
Подставим выражение для :
Вынесем за скобки:
Упростим выражение в скобках:
Таким образом, неравенство принимает вид:
Подставим и :
Упростим числитель:
Разделим обе части неравенства на :
Упростим правую часть:
Умножим обе части неравенства на (при условии ):
Раскроем скобки в правой части:
Перенесём все члены с в левую часть:
Вынесем за скобки:
Упростим коэффициент при :
Таким образом:
Умножим обе части на :
Умножим обе части на :
Задача 129
Текст:
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон Пам, где — давление в газе в паскалях, — объём газа в кубических метрах, . Найдите, какой объём (в куб. м) будет занимать газ при давлении , равном Па.
Решение:
Подставим известные значения Па и в уравнение:
Выразим :
Подставим :
Упростим правую часть:
Теперь найдём , используя свойство степеней:
Разложим вычисления:
1. Представим как степень двойки: .
2. Тогда:
и
Вычислим :
Таким образом:
Задача 130
Текст:
Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 285 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?
Решение:
Обозначим:
- производительность первой трубы (в литрах в минуту) как ,
- производительность второй трубы как .
Составим таблицу для анализа задачи:
Из условия задачи известно, что первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая. Составим уравнение:
Решение уравнения:
1. Приведём левую часть к общему знаменателю:
2. Раскроем скобки в числителе:
3. Упростим числитель:
4. Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
5. Раскроем скобки в правой части:
6. Перенесём все члены в одну сторону:
7. Разделим уравнение на 4 для упрощения:
Решение квадратного уравнения:
Квадратное уравнение имеет вид . Решим его с помощью формулы корней:
где , , .
1. Вычислим дискриминант:
2. Найдём корни:
3. Извлечём корень из 1156:
4. Подставим значения:
5. Найдём два корня:
Производительность трубы не может быть отрицательной, поэтому выбираем .
Ответ: .
Задача 131
Текст:
Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Таня — за 36 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?
Решение:
Решим задачу с помощью таблицы.
Из таблицы видно:
- Производительность Тани: .
- Совместная производительность Ани и Тани: .
Подставим значение в выражение для совместной производительности:
Вычтем из обеих частей:
Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 24 и 36 равно 72:
Тогда:
Производительность Ани , то есть она пропалывает одну грядку за 72 минуты.
Ответ: .
Задача 132
Текст:
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 609 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 51 час. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Обозначим:
- скорость течения реки как (в км/ч),
- скорость теплохода по течению: (км/ч),
- скорость теплохода против течения: (км/ч).
Составим таблицу для анализа:
Из условия известно, что общее время движения теплохода (с учётом стоянки) составляет 51 час. Составим уравнение:
1. Перенесём 1 час стоянки в правую часть:
2. Приведём левую часть к общему знаменателю:
3. Раскроем скобки в числителе:
4. Упростим числитель:
5. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:
Теперь уравнение принимает вид:
6. Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
7. Разделим обе части уравнения на 50:
8. Перенесём в левую часть:
9. Вычислим:
10. Извлечём корень:
Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому .
Ответ: .
Задача 133
Текст:
Два велосипедиста одновременно отправились в 160-километровый пробег. Первый ехал со скоростью 6 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Обозначим:
- скорость второго велосипедиста как (в км/ч),
- скорость первого велосипедиста: (км/ч).
Составим таблицу для анализа:
Из условия известно, что первый велосипедист прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Составим уравнение:
Решение уравнения:
1. Приведём левую часть к общему знаменателю:
2. Раскроем скобки в числителе:
3. Упростим числитель:
4. Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
5. Раскроем скобки в правой части:
6. Перенесём все члены в одну сторону:
7. Разделим уравнение на 6 для упрощения:
Решение квадратного уравнения:
Квадратное уравнение имеет вид . Решим его с помощью формулы корней:
где , , .
1. Вычислим дискриминант:
2. Найдём корни:
3. Извлечём корень из 676:
4. Подставим значения:
5. Найдём два корня:
Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем .
Ответ: .
Задача 134
Текст:
Имеется два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй — 25 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение:
Обозначим:
- концентрацию кислоты в первом сосуде как ,
- концентрацию кислоты во втором сосуде как .
Составим таблицу для анализа:
Условие 1: Смешивание всех растворов
Если смешать все растворы из обоих сосудов, то получится раствор массой кг с концентрацией 30%. Масса кислоты в полученном растворе равна:
Суммарная масса кислоты из обоих сосудов:
Условие 2: Смешивание равных масс растворов
Если смешать равные массы растворов (например, по 1 кг), то концентрация полученного раствора будет 36%. Это означает, что средняя концентрация кислоты в смеси равна:
Упростим:
Решение системы уравнений:
Получаем систему уравнений:
1. ,
2. .
Шаг 1: Выразим через из второго уравнения:
Шаг 2: Подставим в первое уравнение:
Раскроем скобки:
Упростим:
Концентрация кислоты в первом сосуде: .
Ответ: .
Задача 135
Текст:
Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Обозначим:
- скорость течения реки как (в км/ч),
- скорость лодки против течения: (км/ч),
- скорость лодки по течению: (км/ч).
Составим таблицу для анализа:
Из условия известно, что на путь против течения лодка затратила на 6 часов больше, чем на путь по течению. Составим уравнение:
Решение уравнения:
1. Приведём левую часть к общему знаменателю:
2. Раскроем скобки в числителе:
3. Упростим числитель:
4. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:
Теперь уравнение принимает вид:
5. Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
6. Раскроем скобки в правой части:
7. Перенесём все члены в одну сторону:
8. Разделим уравнение на 6 для упрощения:
Решение квадратного уравнения:
Квадратное уравнение имеет вид . Решим его с помощью формулы корней:
где , , .
1. Вычислим дискриминант:
2. Найдём корни:
3. Извлечём корень из 900:
4. Подставим значения:
5. Найдём два корня:
Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому выбираем .
Ответ: .
Задача 136
Текст:
Заказ на изготовление 209 деталей первый рабочий выполняет на 8 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 8 деталей больше?
Решение:
Обозначим:
- производительность второго рабочего (деталей в час) как ,
- производительность первого рабочего: .
Составим таблицу для анализа:
Из условия известно, что первый рабочий выполняет заказ на 8 часов быстрее второго. Составим уравнение:
Решение уравнения:
1. Приведём левую часть к общему знаменателю:
2. Раскроем скобки в числителе:
3. Упростим числитель:
4. Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
5. Раскроем скобки в правой части:
6. Перенесём все члены в одну сторону:
7. Разделим уравнение на 8 для упрощения:
Решение квадратного уравнения:
Квадратное уравнение имеет вид . Решим его с помощью формулы корней:
где , , .
1. Вычислим дискриминант:
2. Найдём корни:
3. Извлечём корень из 900:
4. Подставим значения:
5. Найдём два корня:
Производительность не может быть отрицательной, поэтому выбираем .
Ответ: .
Задача 137
Текст:
Первый час автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие два часа — со скоростью 75 км/ч, а затем два часа — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Обозначим:
- — общий путь (км),
- — общее время движения (ч),
- — средняя скорость (км/ч).
Составим таблицу для анализа:
Вычисление общего пути и времени:
1. Общий путь:
2. Общее время:
Вычисление средней скорости:
Средняя скорость вычисляется по формуле:
Подставим значения:
Ответ: .
Задача 138
Текст:
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно км/ч и км/ч. Длина товарного поезда равна метров. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно минуте. Ответ дайте в метрах.
Решение:
Обозначения:
- скорость пассажирского поезда: ,
- скорость товарного поезда: ,
- длина товарного поезда: ,
- время обгона: ,
- длина пассажирского поезда: (в метрах).
Относительная скорость:
Поскольку поезда движутся в одном направлении, их относительная скорость равна разности скоростей:
Переведём её в метры в секунду:
Условие обгона:
За время пассажирский поезд проходит расстояние, равное сумме длин обоих поездов:
С другой стороны, это расстояние можно выразить через относительную скорость и время:
Подставим известные значения:
Вычислим правую часть:
Вычисление длины пассажирского поезда:
Из уравнения найдём :
Ответ: .
Задача 139
Текст:
Первый насос наполняет бак за 11 минут, второй — за 15 минут, а третий — за 1 час 50 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?
Решение:
Обозначим:
- время наполнения бака первым насосом: ,
- время наполнения бака вторым насосом: ,
- время наполнения бака третьим насосом: ,
- время наполнения бака при совместной работе всех насосов: (в минутах).
Составим таблицу для анализа:
Условие совместной работы:
Совместная производительность равна сумме производительностей всех трёх насосов:
Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел равно :
Сложим дроби:
Таким образом, три насоса вместе наполняют бака в минуту.
Вычисление времени наполнения бака:
Время наполнения бака вычисляется как обратная величина совместной производительности:
Ответ: .
Задача 140
Текст:
Катер в 10:00 вышел из пункта в пункт , расположенный в 15 км от . Пробыв в пункте 4 часа, катер отправился назад и вернулся в пункт в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
Решение:
Обозначения:
- собственная скорость катера: (км/ч),
- скорость течения реки: км/ч,
- скорость катера по течению: (км/ч),
- скорость катера против течения: (км/ч),
- расстояние между и : км,
- общее время движения (без учёта стоянки): .
Составим таблицу для анализа:
Условие задачи:
Общее время движения катера равно 4 часа:
Решение уравнения:
1. Приведём левую часть к общему знаменателю:
2. Раскроем скобки в числителе:
3. Упростим числитель:
4. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:
Теперь уравнение принимает вид:
5. Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
6. Раскроем скобки в правой части:
7. Перенесём все члены в одну сторону:
8. Разделим уравнение на 2 для упрощения:
Решение квадратного уравнения:
Квадратное уравнение имеет вид . Решим его с помощью формулы корней:
где , , .
1. Вычислим дискриминант:
2. Найдём корни:
3. Извлечём корень из 289:
4. Подставим значения:
5. Найдём два корня:
Скорость катера не может быть отрицательной, поэтому выбираем .
Ответ: .
Задача 141
Текст:
Пристани и расположены на озере, расстояние между ними равно км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из в . На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в . Найдите скорость баржи на пути из в . Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Обозначения:
- скорость баржи из в : (км/ч),
- время движения из в : (ч),
- скорость баржи из в : (км/ч),
- время движения из в без учёта остановки: (ч),
- общее время на обратный путь (включая остановку): .
Составим таблицу для анализа:
Условие задачи:
Время на путь из в равно времени на путь из в , включая остановку:
Решение уравнения:
1. Перенесём в левую часть:
2. Приведём левую часть к общему знаменателю:
3. Раскроем скобки в числителе:
4. Упростим числитель:
5. Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
6. Раскроем скобки в правой части:
7. Перенесём все члены в одну сторону:
8. Разделим уравнение на 9 для упрощения:
Решение квадратного уравнения:
Квадратное уравнение имеет вид . Решим его с помощью формулы корней:
где , , .
1. Вычислим дискриминант:
2. Найдём корни:
3. Извлечём корень из 529:
4. Подставим значения:
5. Найдём два корня:
Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем .
Ответ: .
Задача 142
Текст:
На рисунке изображен график функции вида . Найдите значение .
Решение:
Из графика видно, что . Но для тренировки, давайте сделаем вид, что на графике этого не видно. Анализ условия:
Функция задана в виде , где — основание логарифма. График функции убывает, что означает . На графике отмечены точки:
,
,
.
[image:0]
Эти точки позволяют определить основание и найти значение .
Решение:
1. Используем точку :
Подставим и в формулу :
По определению логарифма:
2. Нахождение :
Задача 143
Текст:
На рисунке изображены графики функций видов и ,
пересекающиеся в точках и . Найдите абсциссу точки .
Решение:
Анализ условия:
График гиперболы задан уравнением .
Он проходит через точки: , , , . [image:0]
Подставим точку в уравнение :
Таким образом, уравнение гиперболы:
Функция прямой:
График прямой задан уравнением .
Он проходит через точки: и .
Найдём коэффициенты и :
- Из точки следует, что .
- Подставим точку в уравнение :
Таким образом, уравнение прямой:
Точки пересечения:
Графики пересекаются в точках и . Точка имеет координаты .
Найдём координаты точки .
Решение:
Для нахождения точек пересечения решим уравнение:
1. Умножим обе части на (при ):
2. Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дроби:
3. Перенесём все члены в одну сторону:
4. Решим квадратное уравнение:
где , , .
Вычислим дискриминант:
Найдём корни:
Корни:
5. Абсциссы точек пересечения:
соответствует точке ,
соответствует точке .
Задача 144
Текст:
На рисунке изображен график функции вида .
Найдите значение .
Решение:
Анализ условия:
График функции — парабола, заданная уравнением .
Она проходит через точки:
, , . [image:0]
Решение:
1. Подставим точку :
Уравнение функции: .
2. Подставим точку :
3. Подставим точку :
Разделим на 2:
4. Решим систему:
Вычтем первое уравнение из второго:
Подставим в :
5. Уравнение функции:
6. Найдём :
Задача 145
Текст:
На рисунке изображён график функции вида .
Найдите значение .
Решение:
Анализ условия:
График функции — показательная функция, заданная уравнением .
Он проходит через точки:
, .
График монотонно возрастает.
[image:0]
Решение:
1. Подставим точку :
Отсюда:
2. Запишем уравнение функции:
3. Найдём :
Задача 146
Текст:
На рисунке изображены графики функций видов и ,
пересекающиеся в точках и . Найдите абсциссу точки .
Решение:
Анализ условия:
График функции проходит через точки:
, .
График функции проходит через точки:
, .
[image:0]
Точки пересечения графиков — это решения уравнения .
Решение:
1. Найдём коэффициент для функции :
Подставим точку :
Отсюда:
Уравнение функции :
2. Найдём коэффициент для функции :
Подставим точку :
Отсюда:
Уравнение функции :
3. Найдём точки пересечения графиков, решив уравнение :
Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дроби:
Разделим обе части на (при ):
Возведём обе части в квадрат:
4. Проверим, что является абсциссой точки :
Подставим в обе функции:
Значения совпадают, значит, — абсцисса точки .
Задача 147
Текст:
Найдите точку минимума функции .
Решение:
\text{Анализ условия:}
Функция определена при , так как присутствует логарифм . Точка минимума функции — это значение , при котором производная равна нулю, и при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+». Решим задачу методом интервалов.
\text{Решение:}
1. Найдём производную функции:
2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
Умножим уравнение на (при ):
3. Разделим уравнение на 2 для упрощения:
4. Решим квадратное уравнение:
где , , .
Вычислим дискриминант:
Найдём корни:
5. Определим знаки производной на интервалах , , :
Производная: .
- На интервале : выберем :
- На интервале : выберем :
6. Построим числовую прямую и отметим на ней нули производной и :
На числовой прямой это выглядит так:
Точка является точкой минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».
Ответ: .
Задача 148
Текст:
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
Решение:
\text{Анализ условия:}
Функция определена на всей числовой прямой. Чтобы найти её наименьшее значение на отрезке , нужно:
1. Найти критические точки функции, решив уравнение .
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
3. Сравнить полученные значения и выбрать наименьшее.
\text{Решение:}
1. Найдём производную функции:
2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
Однако для всех , поэтому уравнение не имеет решений. Таким образом, критических точек на данном отрезке нет.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка :
- При :
- При :
Значение , поэтому:
4. Сравним значения функции:
- ,
- .
Наименьшее значение достигается при .
Ответ: .
Задача 149
Текст:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Решение:
\text{Анализ условия:}
Функция определена при , то есть . На отрезке функция определена, так как все значения из этого отрезка удовлетворяют условию . Чтобы найти наибольшее значение функции на данном отрезке, нужно:
1. Найти критические точки функции, решив уравнение .
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
3. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее.
\text{Решение:}
1. Упростим выражение для функции:
2. Найдём производную функции:
3. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
Критическая точка принадлежит отрезку .
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
- При :
Значение , поэтому:
- При :
- При :
Значение , поэтому:
5. Сравним значения функции:
- ,
- ,
- .
Наибольшее значение достигается при .
Ответ: .
Задача 150
Текст:
Найдите точку минимума функции .
Решение:
\text{Анализ условия:}
Функция определена на всей числовой прямой. Точка минимума функции — это значение , при котором производная равна нулю, и при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+». Решим задачу методом интервалов.
\text{Решение:}
1. Найдём производную функции:
2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
3. Решим квадратное уравнение:
где , , .
Вычислим дискриминант:
Найдём корни:
4. Определим знаки производной на интервалах , , :
Производная: .
- На интервале : выберем :
- На интервале : выберем :
5. Построим числовую прямую и отметим на ней нули производной и :
На числовой прямой это выглядит так:
Точка является точкой минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».
Ответ: .
Задача 151
Текст:
Найдите точку минимума функции .
Решение:
\text{Анализ условия:}
Функция определена на всей числовой прямой. Точка минимума функции — это значение , при котором производная равна нулю, и при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+». Решим задачу методом интервалов.
\text{Решение:}
1. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования произведения:
Обозначим и . Тогда:
Здесь:
Подставим в формулу для производной:
Вынесем общий множитель :
2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
Поскольку для всех , уравнение сводится к:
3. Определим знаки производной на интервалах и :
Производная: .
- На интервале : выберем :
4. Построим числовую прямую и отметим на ней нуль производной :
На числовой прямой это выглядит так:
Точка является точкой минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».
Ответ: .
Задача 152
Текст:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Решение:
\text{Анализ условия:}
Функция определена при , так как присутствует квадратный корень . Чтобы найти её наибольшее значение на отрезке , нужно:
1. Найти критические точки функции, решив уравнение .
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
3. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее.
\text{Решение:}
1. Найдём производную функции:
Перепишем как :
Теперь найдём производную:
2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
Критическая точка принадлежит отрезку .
3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
- При :
- При :
- При :
Значение , поэтому:
4. Сравним значения функции:
- ,
- ,
- .
Наибольшее значение достигается при .
Ответ: .
Решение пункта а:
1. Используем формулу синуса суммы для :
Подставим значения и :
2. Подставим это выражение в исходное уравнение:
Раскроем скобки:
3. Упростим уравнение, сократив в обеих частях:
4. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла :
Упростим:
5. Вынесем за скобки:
6. Получаем два случая:
- ,
-
7. Решим каждое уравнение:
- Для :
- Для :
Ответ к пункту а:
Задача 154
Текст:
а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение:
Решение
Пункт а
1. ОДЗ функции:
Для существования выражения необходимо выполнение условий:
Из условия :
Из условия :
Это выполняется при:
Таким образом, ОДЗ:
2. Решение уравнения:
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не обращается в ноль. Рассмотрим числитель:
Введём замену . Тогда:
Разложим на множители:
Отсюда:
Вернёмся к переменной :
- При :
Решение :
- При :
Решение :
Учитывая ОДЗ , исключаем .
Объединяем решения:
Ответ к пункту а
Пункт б
Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку :
1. Решение :
На отрезке :
2. Решение :
На отрезке :
3. Исключаем по ОДЗ, так как в этих точках.
4. Итоговые корни на отрезке :
Ответ к пункту б